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Livello 2
Problema:
Scrivi il polinomio di Taylor di ordine 2, di centro $x_0$, relativo alla funzione indicata:
$f(x)=\frac{1}{x²}$, $x_0=1$
Soluzione:
Per approssimare la funzione $f(x)$ tramite i polinomi di Taylor è necessario utilizzare la seguente relazione:
$P(x)=\sum_{i=0}^{k} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x-x_0)^i$
Sostituendo:
$P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} \frac{f^{(i)}(1)}{i!} (x-1)^i=f(1)+ f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)(x-1)²}{2}$
Dato che $f'(x)=\frac{-2}{x³}$ e che $f''(x)=\frac{6}{x⁴}$, si ha:
$P_2(x)=f(1)+ f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)(x-1)²}{2}=1+ -2(x-1)+3(x-1)²=1-2x+2+3(x²-2x+1)=1-2x+2+3x²-6x+3=3x²-8x+6$
L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.
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Livello 4