TANGENTI COMUNI A DUE CIRCONFERENZE

Devi partire dal principio che tu sai già che le tangenti comuni alle due circonferenze passano per i due punti assegnati. Quindi puoi fare riferimento ad una sola di esse.

Ad esempio

x^2 + y^2 = 1

lasciando in disparte l'altra: x^2 + y^2 - 8·x - 6·y + 16 = 0

Quindi comincia a considerare il punto [1, 3/4]

Ti espongo una prima modalità di risoluzione del problema, per l'altro punto vediamo quella generale

Utilizzo delle formule di sdoppiamento. Determino quella che si chiama polare che è la retta passante per i due punti di tangenza

1·x + 3/4·y = 1 la polare

che metto a sistema con la sola circonferenza  detta sopra:

{y = 4/3 - 4·x/3

{x^2 + y^2 = 1

risolvo ed ottengo i due punti di tangenza:

[x = 1 ∧ y = 0, x = 7/25 ∧ y = 24/25]

Quindi una prima retta tangente alle due circonferenze è:

x = 1 che passa per i due punti: [1, 0] ed [1, 3/4]

La seconda retta tangente è : 

(y - 3/4)/(x - 1) = (24/25 - 3/4)/(7/25 - 1)

y = 25/24 - 7·x/24  passante per [7/25, 24/25] e [1,0]

Le altre due rette tangenti con il metodo generale

Determiniamo la generica retta per il punto [-2, - 3/2]

y + 3/2 = m·(x + 2)---> y = m·x + (4·m - 3)/2

messa a sistema con la solita circonferenza ci porta a scrivere:

x^2 + (m·x + (4·m - 3)/2)^2 = 1

x^2 + (m^2·x^2 + m·x·(4·m - 3) + (16·m^2 - 24·m + 9)/4) - 1 = 0

4·x^2·(m^2 + 1) + 4·m·x·(4·m - 3) + (16·m^2 - 24·m + 5) = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(2·m·(4·m - 3))^2 - 4·(m^2 + 1)·(16·m^2 - 24·m + 5) = 0

- 48·m^2 + 96·m - 20 = 0

m = 1 - √21/6 ∨ m = √21/6 + 1

ed infine le ultime due tangenti:

y = x·(1 - √21/6) - √21/3 + 1/2

y = x·(√21/6 + 1) + √21/3 + 1/2