Considera la circonferenza di equazione $x^2+y^2-2 x+4 y=0$. Dopo aver verificato che il punto $P(2,5)$ è esterno a tale circonferenza, conduci da $P$ le tangenti alla circonferenza e determina:
a. le coordinate dei punti di tangenza $R$ e $S$ delle tangenti con la circonferenza;
b. l'area del triangolo RPS.
$$
\left[2 x-y+1=0 ; 11 x+2 y-32=0 ; \text { a. }(-1,-1),\left(\frac{16}{5},-\frac{8}{5}\right) ; \text { b. } \frac{27}{2}\right]
$$
1764
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Livello 2
x^2 + y^2 - 2·x + 4·y = 0
Controllo il 1° membro:
x^2 + y^2 - 2·x + 4·y che per [2, 5]
vale: 2^2 + 5^2 - 2·2 + 4·5 = 45 > 0
Quindi è esterno il punto considerato.
Determino la polare mediante le formule di sdoppiamento:
2·x + 5·y - 2·(x + 2)/2 + 4·(y + 5)/2 = 0
x + 7·y + 8 = 0
Quindi la metto a sistema:
{x^2 + y^2 - 2·x + 4·y = 0
{x + 7·y + 8 = 0
ed ottengo i due punti di tangenza:
[x = -1 ∧ y = -1 , x = 16/5 ∧ y = - 8/5 ]
Calcolo area triangolo
[2, 5]
[-1, -1]
[16/5, - 8/5]
[2, 5]
Α = 1/2·ABS((2·(-1) + (-1)·(- 8/5) + 16/5·5) - (2·(- 8/5) + 16/5·(-1) + (-1)·5))
Α = 1/2·ABS(78/5 - (- 57/5))
Α = 27/2
88941
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Genius II
@lucianop 👍👌👍
La circonferenza da considerare è
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x + 4*y = 0
e va bene. Ma per il resto va malissimo: osservare l'ordine delle operazioni suggerito
a) verificare che P(2, 5) sia esterno a Γ
b) tirare da P le rette tangenti Γ
c) calcolare i punti (R, S) di tangenza
d) calcolare l'area del triangolo RPS
comporterebbe calcoli inutilmente onerosi.
Se ne fanno assai di meno come segue.
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1) Calcolare la retta p, polare di P(2, 5) rispetto a Γ.
* p ≡ x*2 + y*5 - 2*(x + 2)/2 + 4*(y + 5)/2 = 0 ≡ x + 7*y + 8 = 0
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2) Calcolare gli eventuali punti comuni a p e Γ.
* (x + 7*y + 8 = 0) & (x^2 + y^2 - 2*x + 4*y = 0) ≡
≡ R(- 1, - 1) oppure S(16/5, - 8/5)
aver trovato due intersezioni reali soddisfà alle consegne a e c.
---------------
3) Per la consegna b basta tirare le due congiungenti
* PR ≡ y = 2*x + 1
* PS ≡ y = 16 - 11x/2
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4) Per la consegna d si applica il solito metodo (che, non ricordando se e quando te l'abbia già mostrato, per sicurezza ti ricopio in fondo) ottenendo
* S(RPS) = 27/2
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)|/2
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Genius I
@exprof👍👌👍
