Ciao, devo risolvere il seguente esercizio:
Data l'equazione della cirocnferenza: x^2+y^2-2x+y=0 e un punto P(1,2), determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza passanti per P. Usare sia il metodo del sitema circonferenza e fascio di rette e il metodo della distanza punto retta. Gentilmente potete scrivere i passaggi di entrambii i metodi? Non riescoa risolvere i vari conti con coefficienti (m) ecc. Grazie mille. Risultato: (y=2x ; y=4-2x)
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Livello 2
{x^2 + y^2 - 2·x + y = 0
{y - 2 = m·(x - 1)
Risolvo per sostituzione: y = m·x - m + 2
x^2 + (m·x - m + 2)^2 - 2·x + (m·x - m + 2) = 0
x^2·(m^2 + 1) - x·(2·m^2 - 5·m + 2) + (m^2 - 5·m + 6) = 0
Δ = 0 condizione di tangenza
(2·m^2 - 5·m + 2)^2 - 4·(m^2 + 1)·(m^2 - 5·m + 6) = 0
5·m^2 - 20 = 0----> 5·(m + 2)·(m - 2) = 0
m = -2 ∨ m = 2
m = -2 : y = 4 - 2·x
m = 2 : y = 2·x
------------------------------------------------------
Il raggio della circonferenza è pari a:
r=√(1^2 + (- 1/2)^2 - 0) = √5/2
ed è la distanza dal centro della circonferenza dalla retta:
m·x - y - m + 2 = 0 (presa da sopra)
Quindi:
√5/2 = ABS(m·1 - (- 1/2) - m + 2)/√(m^2 + (-1)^2)
√5/2 = 5/(2·√(m^2 + 1))
risolvo ed ottengo:
m = -2 ∨ m = 2
da cui le due rette tangenti come sopra.
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Genius II
@lucianop Ciao Luciano, grazie, una cortesia non riesco a capire il passaggio:
x^2 + (m·x - m + 2)^2 - 2·x + (m·x - m + 2) = 0 (questo passaggio mi è chiaro ok)
x^2 + (m·x - m + 2)^2 - 2·x + (m·x - m + 2) = 0 (qui non c'è un quadrato di trinomio?)
x^2·(m^2 + 1) - x·(2·m^2 - 5·m + 2) + (m^2 - 5·m + 6) = 0 (come arrivi a qesto risutltato?) ok raccogli x^2 e x ma non capisco come sviluppi i calcoli.
Grazie
I passaggi sono sotto.
@lucianop Grazie mille Luciano, finalmente uan persona che spiega bene i passaggi. Grazie mille.
Passaggi
x^2 + (m·x - m + 2)^2 - 2·x + (m·x - m + 2) = 0
x^2 + (m^2·x^2 - 2·m^2·x + 4·m·x + m^2 - 4·m + 4) - 2·x + (m·x - m + 2) = 0
m^2·x^2 + x^2 - 2·m^2·x + 5·m·x - 2·x + m^2 - 5·m + 6 = 0
x^2·(m^2 + 1) - x·(2·m^2 - 5·m + 2) + (m^2 - 5·m + 6) = 0
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Genius II
