Determina le coordinate dei due punti $P$ e $Q$ (con $x_P<x_Q$ ) appartenenti alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-12 x+4 y+20=0$ tali che le tangenti condotte da $P e Q$ alla circonferenza si intersechino nell'origine. (Suggerimento: il problema equivale a determinare le coordinate dei punti di contatto tra la circonferenza e le rette langenti alla circonferenza condotte...)
$$
[P(2,-4), Q(4,2)]
$$
1764
punti
Livello 2
{x^2 + y^2 - 12·x + 4·y + 20 = 0
{y = m·x
per sostituzione:
x^2 + (m·x)^2 - 12·x + 4·(m·x) + 20 = 0
x^2·(m^2 + 1) + 4·x·(m - 3) + 20 = 0
Δ/4 = 0
(2·(m - 3))^2 - (m^2 + 1)·20 = 0
(4·m^2 - 24·m + 36) - (20·m^2 + 20) = 0
- 16·m^2 - 24·m + 16 = 0
8·(m + 2)·(1 - 2·m) = 0
m = 1/2 ∨ m = -2
Coordinate dei punti P e Q
x^2·((1/2)^2 + 1) + 4·x·(1/2 - 3) + 20 = 0
5·x^2/4 - 10·x + 20 = 0
5·(x - 4)^2/4 = 0----> x = 4
y = 1/2·4---> y = 2
Q [4,2]
x^2·((-2)^2 + 1) + 4·x·(-2 - 3) + 20 = 0
5·x^2 - 20·x + 20 = 0
5·(x - 2)^2 = 0---> x = 2
y = (-2)·2--->y = -4
P [2,-4]
88941
punti
Genius II
@lucianop 👍👌👍
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 12*x + 4*y + 20 = 0 ≡ (x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 20
induce, fra i punti e le rette del piano, una polarità nella quale al polo P(u, v) corrisponde la retta polare p
* p ≡ u*x + v*y - 12*(u + x)/2 + 4*(v + y)/2 + 20 = 0 ≡
≡ (u - 6)*x + (v + 2)*y - 2*(3*u - v - 10) = 0
------------------------------
Le intersezioni fra Γ e la polare dell'origine
* p ≡ (0 - 6)*x + (0 + 2)*y - 2*(3*0 - 0 - 10) = 0 ≡ y = 3*x - 10
sono i richiesti P e Q
* (y = 3*x - 10) & ((x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 20) ≡
≡ P(2, - 4) oppure Q(4, 2)
che è proprio il risultato atteso.
56990
punti
Genius I
