[Risolto] Successione di funzione

1. Convergenza puntuale.

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^2 \cdot ln(\frac{x^2+n^2}{n^2+1}) =$

$= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n^2 [ln ( n^2(1+\frac{x^2}{n^2})) - ln( n^2 (1+\frac{1}{n^2}))] =$

$= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n^2 [ln (n^2) + ln(1 + \frac{x^2}{n^2}) - ln ( n^2) - ln (1 + \frac{1}{n^2})] =$

$= \displaystyle\lim_{n \to \infty} ln(1 + \frac{x^2}{n^2})^{n^2} - ln (1 + \frac{1}{n^2})^{n^2} =$

$= ln (e^{x^2}) - 1 =$

$ = x^2 -1$

Quindi converge al segmento di parabola $f_∞(x) = x^2-1 \quad for  \, x \in [-1,+1]$

Osserviamo che 

• $ \text{ Se x = ± 1 allora } \,  f_n = 0$
• $ \text{ Se x = 0 allora } \,  f_n = -1$

2. Convergenza uniforme.

Sono convinto che la successione converga uniformemente e che lo strumento più adatto per provarlo è dimostrare che 

$sup \{|f_n(x)-f_∞ (x))| : x \in [-1,+1] \}$ tende a 0 per n → +∞

 ora la funzione $y(x) = |f_n(x)-f_∞ (x))|$ è definita in un compatto ([-1,1]) quindi per Weirestrass ammette max e min.

Studiando la funzione segue che il punto di max si trova per x = 0 dove la differenza 

$f_n(x)-f_∞ (x)$

vale

$max = 1 - n^2 \cdot ln((n^2+1)/n^2)$

passando al limite per n → +∞ si ha

max → 1 - ln e = 0.

e questo confermerebbe la convergenza uniforme.

Ti consiglio di verificare calcoli e passaggi.