[Risolto] Studio segno

x^4 - 8x² = x²(x²-8)

• x²(x²-8) = 0 

Verificata per x = 0, x = - 2√2, x = 2√2

• x²(x²-8) > 0

Il segno dipende esclusivamente dal segno del fattore (x²-8). Quindi consideriamo 

(x²-8) > 0 

Verificata per x < -2√2 V x > 2√2   ovvero (-∞, -2√2) U (2√2, +∞) 

• x²(x²-8) < 0

Per le considerazioni già fatte

(x²-8) < 0 

Verificata per  -2√2 < x < 0 V 0 < x < 2√2 ovvero (-2√2, 0) U (0, 2√2)

* p(x) = x^4 - 8*x^2 = (x^2 - 8)*x^2 = (x + √8)*(x - √8)*x^2
quindi, con √8 = 2*√2, ha da sinistra a destra i tre zeri
* x = - 2*√2 semplice, x = 0 doppio, x = 2*√2 semplice.
Poiché uno zero semplice separa due intervalli di segno opposto e uno doppio due intervalli di segno eguale per questo polinomio, funzione pari, ci sono i seguenti intervalli simmetrici di segno costante
* per x < - 2*√2, p(x) > 0
* per - 2*√2 < x < 0, p(x) < 0
* per 0 < x < 2*√2, p(x) < 0
* per x > 2*√2, p(x) > 0
dove i segni si sono ottenuti dal fatto che, nei due intervalli illimitati esterni agli zeri, un polinomio ha il segno del suo coefficiente direttore.