Sia $g$ la funzione cosi definita: $$ g(x)=x^3(x+2) $$ a. Studia la funzione. Indica con $\Gamma$ il grafico corrispondente. Rappresenta $\Gamma$ dopo averne individuato le principali caratteristiche. b. Trova l'equazione della retta $t$ tangente a $\Gamma$ in $F$, le coordinate del punto $A$, ulteriore intersezione tra $\Gamma$ e la retta $t$. c. Calcola le coordinate del punto $B$, appartenente all'arco FA e distinto da $F$, tale che la tangente a $\Gamma$ in $B$ sia parallela a $t$.
Qualcuno riesce a fare almeno un punto tra questi spiegando i passaggi? Ne ho urgente bisogno
La funzione, essendo di 4° grado ed il coefficiente di grado massimo pari, è illimitata superiormente, di conseguenza essendo continua, assieme alle sue derivate, risulta limitata inferiormente e quindi presenta sicuramente un minimo assoluto.
Come per le altre funzioni polinomiali non ci sono quindi asintoti.
Calcolo prime derivate:
y' = 2·x^2·(2·x + 3)
y'' = 12·x·(x + 1)
Studio crescenza e decrescenza:
y'>0-------> 2·x^2·(2·x + 3) > 0
se x ≠ 0 ∧ x > - 3/2
y'<0-------> 2·x^2·(2·x + 3) < 0
se x < - 3/2
y'=0------> 2·x^2·(2·x + 3) = 0
se x = - 3/2 ∨ x = 0
per x=-3/2 si ha un minimo assoluto e relativo; per x=0 un flesso a tangente orizzontale
y = (- 3/2)^3·(- 3/2 + 2)------> y = - 27/16
Concavità e convessità
y''>0-----> 12·x·(x + 1) > 0
se x < -1 ∨ x > 0 :concavità verso l'alto
y''<0 -----> 12·x·(x + 1) < 0
se -1 < x < 0 : concavità verso il basso
y''=0-----> 12·x·(x + 1) = 0
se x = -1 ∨ x = 0
per x=-1 punto di flesso F di ordinata:
y = (-1)^3·(-1 + 2)-----> y = -1 quindi F(-1,-1)
Retta tangente in F.
y+1= m(x+1)
con m=2·(-1)^2·(2·(-1) + 3)= 2
Quindi retta t: y + 1 = 2·(x + 1)-----> y = 2·x + 1
Data la funzione g definita dal polinomio quartico y * g(x) = y = (x + 2)*x^3 e graficata dalla curva Γ si chiede di eseguire le seguenti consegne. a1) Individuare le principali caratteristiche di g. a2) Rappresentare Γ. b1) Trovare la retta t, tangente Γ in F (F??? Ecchedè? 'a Maronn' 'o sape!). b2) trovare A, intersezione fra t e Γ. c) Individuare sull'arco FA il punto B != F punto di tangenza di una parallela a t. ------------------------------ a1) Individuare le principali caratteristiche di g. Ogni polinomio di grado n in x è definito sull'intero asse x; va all'infinito al crescere del modulo di x (quindi non ha estremi assoluti), nello stesso verso se n è pari o in versi opposti se n è dispari, e il verso dipende dal segno del coefficiente direttore. --------------- Dall'equazione e dalle sue due prime derivate * y = (x + 2)*x^3 * y' = 2*(2*x + 3)*x^2 * y'' = 12*(x + 1)*x si trovano le proprietà caratteristiche. --------------- Da * y = (x + 2)*x^3 = 0 si hanno * x = - 2, uno zero semplice (Γ interseca l'asse x) * x = 0, uno zero triplo (Γ tange e interseca l'asse x: ha un flesso.) --------------- Da * y' = 2*(2*x + 3)*x^2 = 0 si trovano i punti critici (estremi relativi o flessi orizzontali) * x = - 3/2, uno zero semplice (Γ ne ha uno in (- 3/2, - 27/16)) * x = 0, uno zero doppio (Γ ne ha un'altro nell'origine) --------------- Da * y'' = 12*(x + 1)*x = 0 si trovano i punti di flesso (con pendenza della tangente eguale ad y') nei due zeri semplici * x = - 1 ((- 1, - 1), con tangente y = 2*x + 1) * x = 0 (con tangente y = 0) --------------- NB: nel seguito ipotizzo che il misterioso punto F sia il flesso a tangente obliqua * F(- 1, - 1) ------------------------------ a2) Rappresentare Γ. http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x--2%29*x%5E3%2Cy%3D2*x--1%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-4to4 ------------------------------ b1) Trovare la retta t, tangente Γ in F(- 1, - 1). * t ≡ y = 2*x + 1 (vedi sopra) ------------------------------ b2) trovare A, intersezione fra t e Γ. * t & Γ ≡ (y = 2*x + 1) & (y = (x + 2)*x^3) ≡ ≡ F(- 1, - 1) oppure A(1, 3) ------------------------------ c) Individuare sull'arco FA il punto B != F punto di tangenza di una parallela a t. --------------- L'arco FA privo di F è * (y = (x + 2)*x^3) & (- 1 < x <= 1) --------------- Il fascio delle parallele a t è * p(q) ≡ y = 2*x + q --------------- Il sistema dei punti comuni è * p(q) & "arco FA privo di F" ≡ ≡ (y = 2*x + q) & (y = (x + 2)*x^3) & (- 1 < x <= 1) con risolvente * ((x + 2)*x^3 - (2*x + q) = 0) & (- 1 < x <= 1) e discriminante * Δ(q) = - 256*(q + 11/16)*(q - 1)^2 che, per la tangenza, deve azzerarsi. --------------- Da * ((q + 11/16)*(q - 1)^2 = 0) & (- 1 < x <= 1) si trovano le intercette delle tangenti * q = - 11/16 (di t' nel punto B) * q = 1 (di t nel punto F) da cui * p(- 11/16) ≡ y = 2*x - 11/16 --------------- Infine risolvendo * (y = 2*x - 11/16) & (y = (x + 2)*x^3) ≡ ≡ B(1/2, 5/16) oppure (punti complessi, irrilevanti per Γ) si soddisfà all'ultima consegna. Vedi il grafico e il paragrafo "Real solutions" al link http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x--2%29*x%5E3%2C%282*x--1-y%29*%282*x-11%2F16-y%29%3D0%5D