[Risolto] studio funzione e curva di equazione

Scrivendo in linea (e non in due dimensioni) delimitare fra parentesi tonde le subespressioni E' UN DOVERE, NON UN PASSATEMPO.
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La funzione della variabile reale x
* f(x) = y = (x^2 + x + 4)/(x + 1) = x + 4/(x + 1) ≡
≡ x^2 - x*y + x - y + 4 = 0
è definita quasi ovunque, tranne che in x = - 1; ed ha le due prime derivate
* f'(x) = 1 - 4/(x + 1)^2
* f''(x) = 8/(x + 1)^3
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Dal momento che, per x reale,
* x^2 + x + 4 > 0
* 8/(x + 1)^3 != 0
la funzione è priva sia di zeri che di flessi; di punti notevoli ha, oltre l'intersezione Y(0, 4) con l'asse delle ordinate gli estremi relativi individuati da
* f'(x) = 1 - 4/(x + 1)^2 = 0 ≡ (x = - 3) oppure (x = 1) ≡ - 1 ± 2
con
* f''(- 3) = 8/(- 3 + 1)^3 = - 1 < 0
* f''(1) = 8/(1 + 1)^3 = 1 > 0
da cui
* f(- 3) = - 3 + 4/(- 3 + 1) = - 5 è un massimo relativo
* f(1) = 1 + 4/(1 + 1) = 3 è un minimo relativo
quindi l'insieme immagine reale è
* (x < - 5) oppure (x > 3)
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Dalla forma
* f(x) = y = x + 4/(x + 1)
si vede che:
1) essendo f(- x) = - x + 4/(1 - x) != ± f(x), la funzione non ha parità;
2) per x → ± ∞, la funzione tende ad eguagliare la variabile e che quindi, oltre all'asintoto verticale all'ascissa di non definizione
* x = - 1
c'è anche la diagonale dei quadranti dispari come asintoto obliquo
* y = x
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Dall'esame dei limiti d'interesse
lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
lim_(x → - 1-) f(x) = - ∞
lim_(x → - 1+) f(x) = ∞
lim_(x → + ∞) f(x) = ∞
e dalla forma
* x^2 - x*y + x - y + 4 = 0
si vede che il grafico di y = f(x) è l'iperbole con
* centro C(- 1, - 1)
* asintoti x = - 1 e y = x
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Vedi i grafici al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+x%5E2-x*y%2Bx-y%2B4%3D0
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cx%5E2-x*y%2Bx-y%2B4%3D0%5Dx%3D-11to9%2Cy%3D-10to10