F(x)= ln(1+e^2x)
dom: ]-inf;+inf[
nè pari nè dispari
intersezione con asse y nel punto A(0;ln(2))
studio segno : f(x) è pari per ogni x appartenente a R
Lim per x->-inf f(x) = 0 asintoto orizzontale sinistro y=0
lim per x-> +inf f(x) =+inf potrebbe essere asintoto obliquo
lim per x-> +inf f(x)/x non saprei come risolverlo
In questa funzione non si potrebbe fare lo studio della continuitá, ma come lo si scrive matematicamente questa cosa?
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Livello 1
studio segno : f(x)>0 per ogni x appartenente a R
LIM(LN(1 + e^(2·x))/x) = 2
x → +∞
Funzione continua in tutto R (lo dice il dominio)
y=2x asintoto destro (q=0)
lim_x->+oo f(x)/x =
= lim_x->+oo ln(1+e^(2x)/x =
= lim_x->+oo [ln e^(2x)]/x =
= lim_x->+oo 2x/x = 2
Il dominio é R e la funzione é composta da funzioni continue => non ci sono punti di discontinuità
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Livello 7
Brutalmente perché quando x->+oo e^(2x) -> +oo più rapidamente e ben presto 1 diventa trascurabile nella somma rispetto ad esso.
f(x)= ln(1+e^2x)
dom: ]-inf;+inf[ = ℝ OK
nè pari nè dispari OK
intersezione con asse y nel punto A(0;ln(2)) OK
studio segno : f(x) è pari per ogni x appartenente a R (positiva non pari)
Lim per x->-inf f(x) = 0 asintoto orizzontale sinistro y=0 OK
lim per x-> +inf f(x) =+inf potrebbe essere asintoto obliquo OK
lim per x-> +inf f(x)/x non saprei come risolverlo
Si tratta di una forma indeterminata del tipo ∞/∞
Lo puoi affrontare con la convergenza asintotica. In parole povere al crescere delle x il termine $1+e^{2x} \sim e^{2x}$ è sempre più simile a $e^{2x}$ quindi
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1+e^{2x})}{x} \sim \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(e^{2x})}{x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} = 2 $
Altrimenti, ci sono gli amici come de l'Hôpital, Taylor, etc.
"In questa funzione non si potrebbe fare lo studio della continuitá, ma come lo si scrive matematicamente questa cosa?"
Circa lo studio di continuità vi sono almeno due possibilità:
$ \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0); \qquad \forall x_0 \in \mathbb{R} $
Si scrive così, ma non può essere una novità, visto che è la definizione.
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Livello 4
