Studio funzione

La funzione é omografica infatti

f(x) = (2 + x - 1)/(x - 1) = (x + 1)/(x - 1)

Dominio R - { 1 }

Insieme immagine ed invertibilità

Sia y un elemento di R

(x + 1)/(x - 1) = y

x + 1 = xy - y

x - xy = - y - 1

x(y - 1) = y + 1

x = (y + 1)/(y - 1)

per cui l'inversa é y = (x + 1)/(x - 1)

e coincide con f. Allora il codominio ( immagine )

coincide col dominio ed é R - { 1 }.

c) f(2) = (2+1)/(2-1) = 3

Controimmagine di 3

x = (3+1)/(3-1) = 4/2= 2

controimmagine di - 6

x = (-6+1)/(-6-1) = 5/7

il punto d lo sviluppo più tardi

d)

f°f (x) dovrebbe essere x per x =/= 1 in base a quanto detto prima

però controlliamo :

2/[ f(x) - 1 ] + 1

2/[ (2/(x-1) + 1) - 1 ] + 1

2 : 2/(x-1) + 1

2*(x - 1)/2 + 1

x - 1 + 1

x

Sostituendo

x + 2/(2x - 1) + 1 > 1

x + 2/(2x - 1) > 0

[x(2x - 1) + 2]/(2x - 1) > 0

(2x^2 - x + 2)/(2x - 1) > 0

Il delta del trinomio a numeratore é negativo e quindi esso é sempre positivo

2x - 1 > 0 => x > 1/2

facciamo una verifica grafica

https://www.desmos.com/calculator/wkd6ucrocl

Corretto. L'intero ramo destro si trova sopra l'asse x.

Abbiamo finito.

Spiegherò ogni passaggio, quindi sarà tutto un po' lungo, volevo assicurarmi che capisse anche chi di matematica ha un po' più di difficoltà!

a)

Per studiare il dominio della funzione, dobbiamo capire con che tipo di funzione abbiamo a che fare, questa nostra $f(x)$ è una funzione algebrica fratta, ovvero quel tipo di funzione dove la variabile $x$ compare al denominatore di una frazione. Ricordiamo che il dominio di una funzione è l'insieme di tutti quei valori che può assumere $x$ affinché $f(x)$ (che sarebbe la nostra variabile dipendente $y$) sia un numero reale. Normalmente le frazioni sono sempre definite, tranne nel caso in cui troviamo 0 al denominatore, quindi il dominio della nostra funzione è l'insieme dei valori di $x$ che rispettano la condizione $x-1 \neq 0$ in altre parole: $x \neq 1$, se vogliamo essere formali dovremmo scrivere $D = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 1\}$.

Per trovare l'insieme immagine ora dobbiamo fare la stessa cosa ma dobbiamo cercare di "isolare" la $x$ dalla $y$ (si dice scrivere $x$ in funzione di $y$). Quindi partiamo dalla nostra funzione, è quasi sempre essenziale togliere il denominatore:

$y= \frac{2}{x-1} +1$

$y(x-1) = 2 + x-1$

$xy-y= x+1$

$xy-x=y+1$

$x(y-1)=y+1$

$x= \frac{y+1}{y-1}$

Una volta fatto questo, applichiamo lo stesso discorso del dominio, dobbiamo escludere tutti i valori per cui si annulla il denominatore quindi $D \neq 0 \implies y-1 \neq 0 \implies y \neq 1$, $Im(f)= \{y \in \mathbb{R} | y \neq 1\}$.

b. 

Per dimostrare che la funzione è invertibile si deve prima dimostrare che sia iniettiva e suriettiva allo stesso tempo (una funzione iniettiva è una funzione che associa ogni elemento del suo dominio ad al più un elemento del codominio, mentre una funzione suriettiva associa ogni elemento del dominio ad almeno un elemento del codominio, perché una funzione sia suriettiva e iniettiva bisogna che ogni elemento del dominio sia associato ad esattamente un elemento del codominio e viceversa, questo tipo di funzioni si chiamano biunivoche o biettive, e sono invertibili, significa che conoscendo $y$ posso trovarmi $x$ secondo la funzione inversa). Dimostriamo che la funzione è iniettiva:

Secondo quanto abbiamo detto, posso dire che una funzione è iniettiva se ogni elemento dell'insieme immagine ha una sola controimmagine, in altre parole vogliamo dimostrare che per una coppia di valori $x_1=x_2$ vale $f(x_1) = f(x_2)$.

$x_1=x_2$ si parte sempre scrivendo questo, poi bisogna arrivare a riscrivere il testo della funzione con $x_1$ e $x_2$ utilizzando i principi di equivalenza. Nel nostro caso proseguiamo scrivendo:

$x_1-1 = x_2-1$

$\frac{2}{x_1-1}=\frac{2}{x_2-1}$

$\frac{2}{x_1-1}+1=\frac{2}{x_2-1}+1$

Perfetto! Siamo arrivati a riscrivere la funzione partendo da $x_1=x_2$ e abbiamo dimostrato che è iniettiva. Per dimostrare che la funzione sia suriettiva dobbiamo verificare che $Im(f)$ e il codominio della funzione siano uguali, non viene definito il codominio nell'esercizio (il codominio è $B$ nella scrittura $f: A \rightarrow B$, che evidentemente manca nel testo), quindi suppongo che siano uguali (altrimenti non avrebbe senso l'esercizio), quindi concludiamo che la funzione è biunivoca. Quando abbiamo trovato l'insieme immagine abbiamo scritto $x$ in funzione di $y$, ciò significa che conoscendo $y$ possiamo risalire a $x$, la nostra funzione inversa quindi è $f^{-1}(x)= \frac{x+1}{x-1}$ (quando si scrive una funzione la variabile indipendente si scrive sempre in $x$, ma specifichiamo che abbiamo solo invertito il nome delle variabili, la funzione va sfruttata allo stesso modo). Per verificare che $f^{-1}=f$, riscriviamo le funzioni in forma algebrica e risolviamo l'equazione:

$\frac{2}{x-1} +1 = \frac{x+1}{x-1}$ (qui la variabile $x$ è lo stesso numero, perché quello che ci viene chiesto è di verificare che qualunque sia $x$, $f^{-1}(x)= f(x)$)

$2+x-1= x+1$

$0x=0$ 

Questa equazione è indeterminata, ci ogni valore reale di $x$ verifica l'equazione, quindi ogni valore reale di $x$ verifica anche l'equazione originale $f^{-1}(x)= f(x)$, abbiamo dimostrato ciò che ci era chiesto.

c.

Trovare l'immagine di un numero $a$ significa calcolare $f(a)$, nel nostro caso $f(2)= \frac{2}{2-1}+1=3$, mentre trovare la controimmagine di un numero $b$ significa calcolare $f^{-1}(b)$ ovvero il valore $c$ per cui $f(c)=b$, usiamo la nostra funzione inversa: 

$f^{-1}(3) = \frac{3+1}{3-1}=2$

$f^{-1}(-6)= \frac{-6+1}{-6-1}= \frac{5}{7}$.

d.

Calcolare il composto di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ è un procedimento molto semplice:

$f \circ g = f(g(x))$, $g \circ f = g(f(x))$, ciò equivale a calcolare prima ciò che sta dentro la parentesi, e poi sostituire il risultato nella variabile indipendente della funzione fuori parentesi, quindi per scrivere l'espressione analitica di una funzione composta basta sostituire il testo della funzione alla $x$, nel nostro caso:

$f \circ f = f(f(x)) = f(\frac{2}{x-1}+1)= \frac{2}{\frac{2}{x-1}+1-1}$ Notiamo astutamente che le due funzioni sono inverse per cui il risultato sarà $f(f(x))=x$, ma per giusta misura illustriamo il procedimento, proseguiamo con:

$\frac{2}{\frac{2}{x-1}}+1$

$x-1+1=x$.

Ora risolviamo la disequazione sapendo che $f \circ f = x$, (calcolare $f(2x)$ significa sostituire $2x$ a $x$ nel testo della funzione):

$x+ \frac{2}{2x-1}+1 > 1$

$x+\frac{2}{2x-1}>0$

$\frac{2x^2-x+2}{2x-1}>0$

Risolvendo $2x^2-x+2>0$ notiamo che il numeratore è sempre positivo (per le regole di concordanza tra il coefficiente del termine di secondo grado e il verso della disequazione, ciò corrisponde a tracciare una linea continua sempre positiva nello studio grafico della disequazione), quindi basta che il denominatore sia positivo per far sì che l'intera disequazione sia verificata:

$2x-1>0$

$2x>1$

$x>\frac{1}{2}$. 

Ecco fatto!!

Ho scritto troppo, ma volevo assicurarmi che si capisse tutto bene! Spero che sia stato tutto chiaro, buono studio e buon 2025!