studio estremanti liberi e su insieme chiuso di funzioni in più variabili

Punti in cui si annulla il gradiente

df/dx = 1/(2 sqrt(x^2 + y^2)) * 2x + 2x = 0

df/dy = 1/(2 sqrt(x^2 + y^2) * 2y = 0

x [ 1/sqrt(x^2 + y^2) + 2 ] = 0

y/sqrt(x^2 + y^2) = 0

x = y = 0

E' chiaro che si tratta di un minimo assoluto perché

x^2 + sqrt (x^2 + y^2) é somma di due quantità non negative ed é 0

se e solo se x = y = 0.

Così m = (0,0,-1) é il minimo assoluto e il massimo assoluto non esiste

potendo la funzione essere resa arbitrariamente grande scegliendo x o y

o entrambi "grandi".

Dovremmo ora procedere con la parte b)

Come punto estremente interno abbiamo sempre O

mentre sulla frontiera x^2 + y^2 = 9

e f_dC = rad(9) + x^2 - 1 = x^2 + 2

é minima quando x^2 = 0

quindi in (0,-3) e in (0,3)

tale minimo vale 2 e quindi non é assoluto

Il massimo si ha invece quando x^2 = 9 e vale 11.

Questo invece é assoluto perché x^2 non può superare 9

in tutto C altrimenti y^2 <= 9 - x^2

comporta y^2 < 0 che é assurdo.

$ f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} + x^2 - 1 $

a.  

Osserviamo che:

• $ \sqrt{x^2+y^2} \ge 0 $
• $ x^2 \ge 0 $

Quindi c'è un minimo assoluto nell'origine O(0,0) di valore f(0,0) = -1.

Determiniamo i punti stazionari.

$ \nabla f(x,y) = \left(x (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} + 2 , \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) $

L'equazione $ \nabla f(x,y) = 0 $ ammette una e una sola soluzione in O(0,0)

Il minimo f(0,0) = -1 oltre a essere un minimo assoluto è anche un minimo relativo

Non ci sono massimi relativi.

Circa il massimo assoluto notiamo che

$ \displaystyle\lim_{(x,0) \to (+\infty, 0)} f(x,y) = +\infty $

quindi Sup f(x,y) = +∞ ovvero non ci possono essere  massimi assoluti.

b.  

Estremi in $ C = \{(x,y)\in \mathbb{R^2} | x^2+y^2 ≤ 9\} $

Il cerchio contiene l'origine quindi il minimo assoluto e relativo sarà f(0,0) = -1.

Non ci saono massimi relativi, vista l'unicità dei punti stazionari.

Per il teorema di Weirestrass, in questo caso, la funzione ammetterà punti di massimo assoluto.

Se passiamo alle polari, credo risulti più chiaro, avremo

$ f(ρ, θ) = f(3, θ) = 3 + 9 cos^2θ -1  $

I massimi assoluti si avranno quando il coseno quadrato varrà 1, cioè per

• $θ = \frac{\pi}{2} $
• $θ = \frac{3\pi}{2} $  

dove la funzione varrà

$ f(3, \frac{\pi}{2}) = 3 + 9 -1 = 11 $

Ovviante vale lo stesso anche per $θ = \frac{3\pi}{2} $