Ciao! Potreste aiutarmi con lo studio di questa funzione? Grazie mille!!!
y=[(sin^2 - cosx)]/[(tanx) x (sinx)]
Ciao! Potreste aiutarmi con lo studio di questa funzione? Grazie mille!!!
y=[(sin^2 - cosx)]/[(tanx) x (sinx)]
@littlestar35 scusa nel testo ci sono delle imprecisioni...per
sin^2 Intendi sin^2 di X vero? E quella x tra le due parentesi e’ simbolo di moltiplicazione o e’ proprio x?
@Cenerentola Scusa! Intendo sin^2(x) e la x tra le due parentesi è simbolo di moltiplicazione.
Il procedimento è piuttosto lungo, anzi direi molto lungo!
Partiamo con il campo di esistenza: il denominatore deve essere diverso da 0.
$tanx*sinx \neq 0$
che porta a $x \neq k\pi$
A questo punto espliciterei $tanx=sinx/cosx$ e semplificherei la funzione, che ti diventa alla fine (se ti piace di più):
$f(x)=cosx-\frac{1}{tan^2x}$
cerchiamo gli zeri della funzione:
$f(x)=cosx(1-\frac{cosx}{sin^2x})=0$ che significa
$cosx=0$ (la cui soluzione è banalmente $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$)
e
$1-\frac{cosx}{sin^2x}=0$ ovvero $cosx=sin^2x$ che si riscrive come
$cosx=1-cos^2x$ e quindi si ottiene un'equazione di secondo grado in $cosx$:
$cos^2x+cosx-1=0$
chiamando $z=cosx$ si può riscrivere come: $z^2+z-1=0$ la cui unica soluzione accettabile è
$z_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ovvero $cos x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ e quindi
$x_1=0.90455+2k\pi$ e $x_2=-0.90455+2k\pi$
Hai asintoti verticali ogni $x=k\pi$, dovuti ai valori non compresi nel campo di esistenza.
la funzione è composta da una somma di funzioni periodiche, quindi non ha senso studiare i limiti a + e - infinito, e neanche quindi la ricerca di asintoti obliqui.
Derivata prima:
$f'(x)=-sinx-\frac{2cosx(-sinx)sin^2x-2cos^2xsinxcosx}{sin^4x}$
che si semplifica in:
$f'(x)=-sinx+\frac{2cosx}{sin^3x}$
Imponendo che $f'(x)=0$ per la ricerca dei massimi e minimi relativi si giunge all'equazione:
$2cosx=sin^4x$ che diventa
$cos^4x-2cos^2x-2cosx+1=0$
usando la stessa sostituzione di prima $z=cosx$ si ottiene:
$z^4-2z^2-2z+1=0$
la cui unica soluzione accettabile (trovata usando Wolphram Alpha) è $z_1=cosx=0.37151$ a cui corrispondono
$x_1=1.1901 + 2k\pi$
$x_2=-1.1901 + 2k\pi$
Qui mi fermo, scusami ma non ho più tempo. Prova a fare la derivata seconda, in ogni caso la funzione ha questo andamento: