Studio di funzione completo, dalla funzione al grafico.

$ f(x) = \frac{2x^2-8}{x^2-2x+2} $

• Classificazione. Si tratta di una funzione razionale fratta (ovvero rapporto tra due polinomi)
• Dominio

$ x^2-2x+2 \ne 0 $ questa è vera per ogni x reale visto che il discriminante del trinomio Δ=-4 è negativo

Dominio = ℝ

La funzione risulta continua e derivabile in tutto il suo dominio. 

• Comportamento alla frontiera
  • • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$
    • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$

Esiste un asintoto orizzontale bilaterale di equazione y = 2

• Zeri
  • • f(x) = 0 per x = ± 2
• Segno f(x)
  • • f(x) < 0 in  x < -2  V x > 2
    • f(x) = 0 per x = ± 2
    • f(x) > 0 in (-2, 2)
• Asintoti
  • • Verticali. Nessuno. La funzione è definita in tutto ℝ
    • Orizzontali. si di equazione y = 2
    • Obliqui. No, esistono gli orizzontali
• Massimi, minimi, etc
  • • Derivata prima. $ f'(x) = -\frac{4(x^2-6x+4)}{(x^2-2x+2)^2} $
    • Punti stazionari. f'(x) = 0  ⇒  x₁ = 3 - √5 ;  x₂ = 3 + √5
    • Segno derivata prima

_______x₁________x₂_______

------------------------------------    il segno -

+++++0------------0++++++     4(x^2-6x+4)

---------0+++++++0-----------     Segno f'(x)

---↘---=-----↗------=----↘-----     Monotonia f(x)

dall'analisi del segno segue che

• • • per x = 3 - √5 avremo un minimo relativo /assoluto di valore f(x₁) = -2(1+√5)
    • per x = 3 + √5 avremo un massimo relativo /assoluto di valore f(x₂) = 2(-1+√5)

Solo ora possiamo rispondere alla domanda "Codominio" che sarebbe più opportuno chiamare Immagine o range.

Considerato il fatto che f(x) è continua in tutto il suo dominio e che f(x₁) e f(x₂) sono i suoi valori estremi possiamo affermare, per il teorema dei valori intermedi (IVT), che 

• Codominio ovvero l'immagine = [-2(1+√5), 2(-1+√5)]

• Flessi. dal grafico si evince la presenza di due flessi nell'intervallo (f(x₁), f(x₂)). Considero la derivata seconda alquanto complessa. Suggerisco di terminare lo studio con il grafico
•  Grafico