[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

Le risposte non sono coerenti che la funzione. Vi sono una o più errori di stampa.

Cambio leggermente la funzione per renderla più coerente, questa è la mia opinione, con le risposte date. Nel caso, desideri lo studio della funzione data cioè quella (3+x)^5 puoi sempre postare la richiesta dove non compaiono i risultati.

$ y(x) = (\frac{1}{3}) \sqrt{\frac{(3+x)^4}{x^2}}$

• Dominio = ℝ \ {0}

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• Limiti e Asintoti
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0} y(x) = +\infty$

⊳ Il punto x = 0 è un punto di discontinuità di 2° tipo

⊳ Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x=0

• • $\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} y(x) = +\infty$

Verifichiamo se y(x) ammette asintoti obliqui

$ m = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac {y(x)}{x} = \frac{1}{3}$

$ q_1 = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) - \frac{x}{3} = -\infty$

Non esiste asintoto obliquo sinistro

$ q_2 = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) - \frac{x}{3} = 2$

y(x) ha un asintoto obliquo a destra di equazione

$y = \frac{x}{3}+2$

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• Max/min
  • Derivata prima. $y'(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{3x^3} \sqrt{x^2}$
  • Punti stazionari. $y'(x) = 0 ⇒ x = ±3 $

Studio segno derivata prima.

____-3_____0_____3______ 

------0++++++++++++++    (x+3)

------------------------0++++    (x-3)

---------------X+++++++++    3x³

++++++++X+++++++++    √x²

-----0++++X---------0+++     y'(x)

↘.=.↗..X...↘...=..↗..    y(x)

Ai due punti stazionari corrispondono due minimi, in particolare:

-) minimo globale in x = -3 dove la funzione y(-3) = 0

-) minimo relativo in x = 3 dove la funzione y(3) = 4

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• Flessi.
  • Derivata seconda $y^{(2)} = \frac{6\sqrt{x^2}}{x^4}$

La derivata seconda è positiva in tutto il dominio, il risultato è coerente con i due minimi in più ci dice che non vi sono flessi e che nei due intervalli che compongono il dominio la funzione è convessa.

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• Grafico.