[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = (x-3)e^{\frac{x-1}{x-2}}$

• Dominio = ℝ \ {2}

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• Limiti e asintoti.
  • • $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} y(x) = 0$
    • $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = -\infty$

Si tratta di un punto di discontinuità di 2° tipo. La funzione ammette un asintoto verticale (destro) di equazione x = 2

• • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = -\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty$

Verifichiamo l'esistenza di un asintoto obliquo.

$ m = $\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac {y(x)}{x} = e$

$ q = $\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} y(x)- ex = -2e$

per cui l'asintoto obliquo ha equazione y = ex -2e

nota. L'ultimo limite è tutt'altro che banale, direi che merita un compito a parte.

•  Max/min/flessi a tangente orizzontale
  • • Derivata prima $y'(x) = \frac {x^2-5x+7}{(x-2)^2} e^{\frac{x-1}{x-2}}$
    • Punti stazionari. Nessuno, il polinomio x²-5x+7 ha discriminante negativo (Δ = -3) quindi nessuna radice reale.

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•  Flessi
  • • Derivata seconda $y^{(2)} = \frac {1-x}{(x-2)^4} e^{\frac{x-1}{x-2}}$
    • La derivata seconda si annulla per x = 1 
    • Essendo gli altri termini positivi il segno della derivata è eguale al segno del polinomio (1-x) quindi positivo a sinistra di 1 (convessità di y(x)) negativo alla destra (concavità). Siamo in presenza di un flesso, le cui coordinate sono P(1, y(1)) = P(1, -2)

Grafico