[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = (1-x)e^{\frac{x}{x+1}}$

• Dominio.

$\frac{x}{x+1} \implies x ≠ -1$

Dominio = ℝ \ {-1} = (-∞, -1) U (-1, +∞)

La funzione è continua e derivabile laddove definita.

• Limiti alla frontiera

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to -1^+} y(x) = 0^+$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = -\infty$ 

Considerazioni sui limiti.

Per il teorema di Weirestrass generalizzato i primi due limiti ci assicurano che esiste almeno un minimo nell'intervallo (-∞, -1).

Sempre per un corollario del teorema di Weirestrass gli ultimi due limiti ci assicurano che esiste almeno un massimo nell'intervallo (-1, +∞); il questo caso il segno di 0⁺ gioca un ruolo chiave.

Queste considerazioni servono come verifica sui prossimi risultati.

• Asintoti.

Il limite per $x \to -1^-$  dice che:

• • • x = -1 è un punto di discontinuità di 2° tipo
    • x = -1 è l'equazione dell'asintoto verticale laterale sinistro.
• min/max/flessi
  • • Derivata prima. $y'(x) = \frac{x(3 - x)}{(x+1)^2}e^{\frac{x}{x+1}}$
    • Punti stazionari. $y'(x) = 0 \implies x_1 = -3 \land x_2 = 0$
    • Derivata seconda. $y^{(2)}(x) = -\frac {5x+3}{(x+1)^4}e^{\frac{x}{x+1}}$

.

• • per x₁ = -3 avremo $y^{(2)}(3) = \frac {3}{4}e^{\frac{3}{2}}$

Si tratta di un numero positivo, quindi x₁ = -3 è un punto di minimo e il suo valore risulta $y(-3) = 4e^{\frac{3}{2}}$

• •  per x₂ = 0 avremo $y^{(2)}(0) = -3$

Si tratta di un numero negativo, quindi x₂ = 0 è un punto di massimo e il suo valore risulta $y(0) = 1$

Rimangono gli eventuali flessi.

• • Derivata seconda eguale 0. per $x = -\frac{3}{5}$
  • In corrispondenza del quale la derivata cambia di segno passa da positiva a negativa, quindi la funzione da convessa diventa concava. Si tratta di un flesso, le cui coordinate sono P(-3/5, 8*e^(-3/2) / 5)

I punti di massimo e di minimo trovati sono coerenti con le osservazioni fatte sui limiti.

Riportiamo il grafico di riferimento.