STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = x \cdot \sqrt[3]{ln(x)}

• Dominio = ℝ⁺

La funzione y(x) è continua in tutto il suo dominio.

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• Limiti e asintoti.
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty$
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0$

note:

-) quest'ultimo limite si prova con due colpi di de l'Hôpital.

-) si tratta quindi di una discontinuità eliminabile, cioè del 3° tipo.

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• Max/min/flessi.
  • Derivata prima. $y'(x) = \frac{3ln(x)+1}{3ln^{\frac{2}{3}(x)}}$
    • nota. La derivata prima non esiste per x=1, dove la curva ha una tangente verticale.
  • Punti stazionari. $y'(x) = 0 \, \implies \, x = e^{\frac{-1}{3}}$
  • Derivata seconda. $y^{(2)}(x) = \frac {3ln(x) -2}{9xln^{\frac{5}{3}}(x)}$
    • Nel punto stazionario la derivata seconda risulta positiva quindi si tratta di un minimo
    • Le coordinate del punto di minimo $P(e^{\frac{-1}{3}}, y(e^{\frac{-1}{3}})) = P(e^{\frac{-1}{3}}, -\frac{1}{\sqrt[3] {3e}})$
  • Flessi. 
    • x=1 è un flesso a tangente verticale. A sinistra la derivata seconda è positiva (y(x) convessa) in un intorno destro di x=1 la derivata seconda è negativo (y(x) concava)
    • $y^{(2)}(x) = 0 ⇒ x = e^{\frac{2}{3}}$  A sinistra la derivata è negativa (y(x) concava) a destra positiva (y(x) convessa); si tratta quindi di un flesso.