Studio di funzione completo.

Per determinare il dominio dobbiamo trovare le soluzioni della disequazione

$ 3^{2x} - 4 \cdot 3^x +3 > 0 $

L'insieme S delle soluzioni risulta essere    S = (-∞, 0) U (1, +∞). Possiamo così affermare che

• Dominio = (-∞, 0) U (1, +∞). 

In più la funzione f(x) è continua e derivabile laddove definita.

• Zeri.   f(x) = 0  ⇒  $ 3^{2x} - 4 \cdot 3^x +3 = 1  \; ⇒ \; x = \frac {ln(2-\sqrt{2})}{ln(3)} \; \lor \; x = \frac {ln(2+\sqrt{2})}{ln(3)}$ 

• Segno della funzione. Occorre tener presente la monotonia strettamente crescente della funzione logaritmo per cui
  • • f(x) < 0 in $(\frac {ln(2-\sqrt{2})}{ln(3)}, 0) \; \lor \; (1, \frac {ln(2+\sqrt{2})}{ln(3)})$
    • f(x) > 0 in $(-∞, \frac {ln(2-\sqrt{2})}{ln(3)}) \; \lor \; (\frac {ln(2+\sqrt{2})}{ln(3)}, +∞ )$

• Comportamento in frontiera
  • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = ln(3) $
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $
    • dall'ultimo limite segue sup f(x) = +∞. f(x) non ammette massimo globale
    • dal primo limite segue che la funzione ammette asintoto orizzontale sinistro di equazione y= ln(3)
    • $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$
    • dagli ultimi limiti segue inf f(x) = -∞. f(x) non ammette minimo globale
    • f(x) ha due asintoti verticali di equazione x = 0 e x= 1.

• minimi/massimi locali
  • • derivata prima. $f'(x) = \frac{(3^x-3)(3^x-1)}{3^x\cdot 2 \cdot(3^x-2)ln(3)}$
    • Punti stazionari. f'(x) = 0 per x = 0 V x = 1 Entrambi fuori dominio ⇒ nessun minimo o massimo locale.
    • Monotonia:
      • per x > 1.  f'(x) > 0 la funzione f(x) è strettamente crescente in (1, +∞)
      • per x < 0.  f'(x) < 0 la funzione f(x) è strettamente decrescente in (-∞, 0)

• Concavità/convessità/flessi
  • • derivata seconda. f"(x) $= - \frac{4\cdot3^x(-3\cdot3^x+9^x+3)ln^2(x)}{(3^x-3)^3(3^x-1)^2}$
    • La derivata seconda è negativa per ogni x appartenente al dominio. La funzione è concava nei due intervalli dove è definita.
    • ovviamente nessun flesso.

Grafico