Studio di funzione completo.

Per determinare il dominio dobbiamo trovare le soluzioni della disequazione

$3^{2x}-4\cdot 3^x+3>0$

L'insieme S delle soluzioni risulta essere    S = (-∞, 0) U (1, +∞). Possiamo così affermare che

• Dominio = (-∞, 0) U (1, +∞). 

In più la funzione f(x) è continua e derivabile laddove definita.

• Zeri.   f(x) = 0  ⇒  $3^{2x}-4\cdot 3^x+3=1\Rightarrow x=\frac{ln(2-\sqrt{2})}{ln(3)}\vee x=\frac{ln(2+\sqrt{2})}{ln(3)}$ 

• Segno della funzione. Occorre tener presente la monotonia strettamente crescente della funzione logaritmo per cui
  • • f(x) < 0 in $(\frac{ln(2-\sqrt{2})}{ln(3)},0)\vee (1,\frac{ln(2+\sqrt{2})}{ln(3)})$
    • f(x) > 0 in $(-\infty ,\frac{ln(2-\sqrt{2})}{ln(3)})\vee (\frac{ln(2+\sqrt{2})}{ln(3)},+\infty )$

• Comportamento in frontiera
  • • ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=ln(3)}$
    • ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$
    • dall'ultimo limite segue sup f(x) = +∞. f(x) non ammette massimo globale
    • dal primo limite segue che la funzione ammette asintoto orizzontale sinistro di equazione y= ln(3)
    • ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$
    • ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$
    • dagli ultimi limiti segue inf f(x) = -∞. f(x) non ammette minimo globale
    • f(x) ha due asintoti verticali di equazione x = 0 e x= 1.

• minimi/massimi locali
  • • derivata prima. $f^{\prime }(x)=\frac{(3^x-3)(3^x-1)}{3^x\cdot 2\cdot (3^x-2)ln(3)}$
    • Punti stazionari. f'(x) = 0 per x = 0 V x = 1 Entrambi fuori dominio ⇒ nessun minimo o massimo locale.
    • Monotonia:
      • per x > 1.  f'(x) > 0 la funzione f(x) è strettamente crescente in (1, +∞)
      • per x < 0.  f'(x) < 0 la funzione f(x) è strettamente decrescente in (-∞, 0)

• Concavità/convessità/flessi
  • • derivata seconda. f"(x) $=-\frac{4\cdot 3^x(-3\cdot 3^x+9^x+3)l{n}^2(x)}{(3^x-3{)}^3(3^x-1{)}^2}$
    • La derivata seconda è negativa per ogni x appartenente al dominio. La funzione è concava nei due intervalli dove è definita.
    • ovviamente nessun flesso.

Grafico