STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO.

• Dominio = ℝ\{0}
• Comportamento alla frontiera
  • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$
      • • nota: Asintoti obliquo?
    • $\displaystyle\lim_{x \to 0^-}f(x) = 0$
    • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}f(x) = +\infty$
      • • Asintoto verticale di equazione x = 0
• Asintoti
  • • Asintoto verticale, già individuato, di equazione x = 0
    • Asintoto obliquo. 

$ m =\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) - x = 1 $

f(x) ammette un asintoto obliquo di equazione y = x +1  

quanto riportato sul testo non è corretto (y = x -1) riportiamo sul grafico le due alternative e risulta evidente che y = x - 1 è sbagliato.

• Massimi e minimi assoluti. Non esistono, dai limite segue che
  • • inf {f(x): x∈Dominio} = -∞  ⇒ Non esiste minimo.
    • sup {f(x): x∈Dominio} = +∞  ⇒ Non esiste massimo.
• Massimi e minimo relativo.
  • • Derivata prima. $ f'(x) = \frac{(x-1)e^{\frac{1}{x}}}{x} $
    • Punti stazionari. $ f'(x) = 0 \; ⇒ \; x = 1$
    • Segno f'(x).

______0______1______

------------------0+++++   (x-1)

--------0++++++++++   x

+++++++++++++++   e^(1/x) 

++++0---------0+++++  f'(x)

..↗.......↘.......↗...                    f(x)

per cui

• f(1) = e; è un minimo relativo
• non vi sono massimi relativi. 

Grafico.

dal grafico si evince la  formula corretta dell'asintoto obliquo.