[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = \sqrt{|x|} e^{-x}$

• Dominio = ℝ

La funzione è continua in tutto il dominio. E' probabile che non sia derivabile nel punto x = 0 per via del modulo. Saremo più precisi prossimamente. Inoltre y(x) ≥ 0 per ogni x reale.

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• Limiti e asintoti
  • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $

Il secondo limite ci dice che esiste un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0.

• min/Max/flessi orizzontali
  • • Derivata prima. 
      • Se x ≠ 0 allora $y'(x) = \frac {-x(2x-1)}{2|x|^{\frac{3}{2}} e^x}$
      • Se x = 0 La funzione non è derivabile; la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra. Osserviamo che la funzione derivata è continua in ℝ \ {0}.

$D^-(y(0)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} y'(x) = -\infty$

$D^+(y(0)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y'(x) = +\infty$

La continuità della funzione nel punto x = 0 unita alla differenza tra le derivate ci conferma che siamo in presenza di una cuspide.

Per ultimo, dopo aver osservato che y(0) = 0 possiamo asserire che x = 0 è un punto di minimo assoluto.

• • • Punti stazionari. y'(x) = 0

Abbiamo già trattato il punto x = 0 rimane $x = \frac {1}{2}$

Osserviamo che in un intorno di $x = \frac {1}{2}$ il segno della derivata prima coincide con il segno del fattore (2x-1) quindi è positivo alla sua sinistra (funzione crescente) e negativa alla sua destra (funzione decrescente) quindi si tratta di un punto di massimo relativo. Le sue coordinate sono P(1/2, y(1/2) = P(1/2, 1/√(2e))

• Flessi.
  • Derivata seconda. Per x ≥ 0
  • $y^{(2)} = \frac {4x^2-4x-1}{4x^{(\frac{3}{2})}e^x}$
  • $y^{(2)} = 0 è la radice positiva del trinomio cioè
    • $x = \frac {1 + √2}{2}$ 
      • E' un punto di flesso visto che sicuramente nell'intervallo cambia il segno. 

• • Derivata seconda. Per x < 0
  • $y^{(2)} = \frac {-4x^2+4x+1}{4x^{(\frac{3}{2})}e^x}$
  • $y^{(2)} = 0 è la radice negativa del trinomio cioè
    • $x = \frac {1 - √2}{2}$
      • E' un punto di flesso visto che sicuramente nell'intervallo cambia il segno. 

I due punti di flesso si possono riassumere nella $ x = \frac {1 ± √2}{2}$