$ f(x) = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)}$
Osservazione. La funzione f(x) è una funzione dispari, quindi il grafico dovrà risultare simmetrico rispetto all'origine degli assi.
- Dominio = ℝ\{-2, 2}
- Comportamento in frontiera.
-
- $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty;\quad \implies \quad \text{f(x) non ammette minimo assoluto} $
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty;\quad \implies \quad \text{f(x) non ammette massimo assoluto} $
- $\displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty;$
- $\displaystyle\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty;$ presenza di una asintoto verticale di equazione x = - 2
- $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty;$
- $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty;$ presenza di una asintoto verticale di equazione x = 2
- Asintoti.
-
- Asintoti verticali, già visti in precedenza, di equazione x = ± 2
- Asintoto obliquo.
$ m = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac {f(x)}{x} = 1 $
$ q = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} f(x) - x = 0$
Esiste un asintoto obliquo di equazione y = x
- Estremi relativi.
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- Derivata prima. $f'(x) = \frac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}$
- Punti stazionari. $ f'(x) = 0 \; ⇒\; x = 0 \; \lor \; x = -2√3 \; \lor \; x = 2√3 $
- Segno derivata prima.
Per favorire la lettura, non riportiamo il fattore (x^2-4)^2 che risulta essere positivo in tutto il dominio
___-2√3__-2___0___2__2√3_____
................X.............X.................. Dominio
++++0----------------------0+++++ (x^2-12)
+++++++++++0+++++++++++ x^2
++++0-----------0---------0+++++ f'(x)
...↗..=...↘ ...=...↘...= ...↗.. f(x)
dal quale deduciamo.
- x = 0 è un punto di flesso orizzontale (f(x) decresce sia alla sua sinistra che alla sua destra)
- x = -2√3 è un punto di massimo relativo dove vale f(-2√3) = -3√3 (f(x) cresce a sinistra e decresce a destra)
- x = 2√3 è un punto di minimo relativo dove vale f(2√3) = 3√3 (f(x) decresce a sinistra e cresce a destra)