STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO.

$ f(x) = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)}$

Osservazione. La funzione f(x) è una funzione dispari, quindi il grafico dovrà risultare simmetrico rispetto all'origine degli assi.

• Dominio = ℝ\{-2, 2}
• Comportamento in frontiera.
  • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty;\quad \implies \quad \text{f(x) non ammette minimo assoluto} $ 
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty;\quad \implies \quad \text{f(x) non ammette massimo assoluto} $
    • $\displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty;$
    • $\displaystyle\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty;$ presenza di una asintoto verticale di equazione x = - 2 
    • $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty;$
    • $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty;$ presenza di una asintoto verticale di equazione x = 2 
• Asintoti.
  • • Asintoti verticali, già visti in precedenza, di equazione x = ± 2
    • Asintoto obliquo.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac {f(x)}{x} = 1 $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} f(x) - x = 0$

Esiste un asintoto obliquo di equazione y = x

• Estremi relativi.
  • • Derivata prima. $f'(x) = \frac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}$
    • Punti stazionari. $ f'(x) = 0 \; ⇒\; x = 0 \; \lor \; x = -2√3 \; \lor \; x = 2√3 $
    • Segno derivata prima.

Per favorire la lettura, non riportiamo il fattore (x^2-4)^2 che risulta essere positivo in tutto il dominio  

___-2√3__-2___0___2__2√3_____

................X.............X..................    Dominio

++++0----------------------0+++++   (x^2-12)

+++++++++++0+++++++++++    x^2

++++0-----------0---------0+++++    f'(x)

...↗..=...↘ ...=...↘...= ...↗..    f(x)

dal quale deduciamo.

1. x = 0 è un punto di flesso orizzontale (f(x) decresce sia alla sua sinistra che alla sua destra)
2. x = -2√3 è un punto di massimo relativo dove vale f(-2√3) = -3√3 (f(x) cresce a sinistra e decresce a destra)
3. x = 2√3 è un punto di minimo relativo dove vale f(2√3) = 3√3 (f(x) decresce a sinistra e cresce a destra)