STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO.

• Dominio = (-∞, -2) U [0, +∞)

$ \sqrt{\frac{x}{x+2}} \; \implies \; \frac{x}{x+2} \ge 0 \; \implies \; x \lt -2 \; \lor \; x \ge 0 $

• Comportamento in frontiera.
  • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$ 
• Massimi e minimi assoluti. Dai precedenti limiti si può concludere che la funzione non ammette ne massimi ne minimi assoluti
• Asintoti obliqui. Sempre dai limiti segue che esiste:
  • • Un asintoto verticale (sinistro) si equazione x = -2
    • Asintoto obliquo.

$m = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} f(x) - x = -1$

La funzione ammette un asintoto obliquo di equazione y = x -1 

• Massimi / minimi relativi
  • • Derivata prima. $f'(x) = \frac{(x+3)\sqrt{(\frac{x}{x+2}})^3}{x}$
    • Punti stazionari. $f'(x) = 0 \; \implies \; x = -3$
    • segno derivata prima

_____-3______-2_______0_____

_____________XXXXXXXX______   Dominio

-------0+++++++++++++++++   (x+3) 

+++++++++XXXXXXXXX0+++++    √.....

------------------------------0++++    x

++++0-------XXXXXXXX0+++++   f'(x)

..↗.=...↘..................0..↗...      f(x)

dal diagramma segue che:

⊳ il punto x = - 3 è un punto di massimo (la funzione cresce a sinistra, decresce alla sua destra) dove la funzione vale

f(-3) = -3√3.

• Grafico