$ln x - 1 \ne 0 \; ⇒ \; ln(x) \ne 1 \; ⇒ \; x \ne e $
Dominio = (0, e) U (e,+∞)
Comportamento alla frontiera.
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ Il punto di discontinuità è eliminabile, basta estendere f(x) con f(0) = 1
$ \displaystyle\lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty $
$ \displaystyle\lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty $ Asintoto verticale di equazione x = e
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1;$ Asintoto orizzontale destro di equazione y = 1
Asintoti
Asintoto verticale di equazione x = e
Asintoto orizzontale destro di equazione y = 1
Massimi/minimi assoluti. Dal limiti appare che
Inf f(x) = -∞ ⇒ non esiste un minimo globale
Sup f(x) = +∞ ⇒ non esiste un massimo globale
Massimi/minimi relativi.
Derivata prima. $f'(x) = \frac{-1}{x(ln x -1)^2}$
Punti stazionari. $f'(x) = 0$ Nessun punto stazionario
Nessun massimo, minimo relativo
Concavità, convessità flessi.
Derivata seconda. $f^{(2)}(x) = \frac {ln x +1}{x^2(ln x -1)^3}$
Segno derivata seconda.
$f^{(2)}(x) > 0; \forall x \in (0,\frac{1}{e}) \cup (e, +\infty);$ qui la funzione è convessa
$f^{(2)}(x) > 0; \forall x \in (\frac{1}{e}, e) $ qui la funzione è concava
$f^{(2)}(x) = 0; \; \text {per}\, x = \frac{1}{e} $che risulta essere un punto di flesso, infatti separa un intervallo dove la funzione è convessa da un intervallo dove la funzione è concava.
Nota. Nel punto di flesso la funzione vale $f(e⁻¹) = \frac{1}{2}$