[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO.

$ f(x) = \frac{ln x}{ln(x) -1} = \frac{1}{ln(x) -1} + 1 $

• Dominio.
  • • $ln x \;  ⇒ \;  x \gt 0 $
    • $ln x  - 1 \ne 0 \; ⇒  \; ln(x) \ne 1 \; ⇒  \; x \ne e $

Dominio = (0, e) U (e,+∞)

• Comportamento alla frontiera.
  • • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ Il punto di discontinuità è eliminabile, basta estendere f(x) con f(0) = 1
    • $ \displaystyle\lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty $ Asintoto verticale di equazione x = e
    • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1;$   Asintoto orizzontale destro di equazione y = 1
• Asintoti
  • • Asintoto verticale di equazione x = e
    • Asintoto orizzontale destro di equazione y = 1
• Massimi/minimi assoluti. Dal limiti appare che
  • • Inf f(x) = -∞  ⇒ non esiste un minimo globale
    • Sup f(x) = +∞  ⇒ non esiste un massimo globale
• Massimi/minimi relativi.
  • • Derivata prima. $f'(x) = \frac{-1}{x(ln x -1)^2}$
    • Punti stazionari. $f'(x) = 0$ Nessun punto stazionario
    • Nessun massimo, minimo relativo
• Concavità, convessità flessi.
  • • Derivata seconda. $f^{(2)}(x) =  \frac {ln x +1}{x^2(ln x -1)^3}$
    • Segno derivata seconda.
      • • $f^{(2)}(x) > 0; \forall x \in (0,\frac{1}{e}) \cup (e, +\infty);$   qui la funzione è convessa
        • $f^{(2)}(x) > 0; \forall x \in (\frac{1}{e}, e) $      qui la funzione è concava
        • $f^{(2)}(x) = 0; \; \text {per}\, x = \frac{1}{e} $che risulta essere un punto di flesso, infatti separa un intervallo dove la funzione è convessa da un intervallo dove la funzione è concava.

Nota. Nel punto di flesso la funzione vale $f(e⁻¹) = \frac{1}{2}$