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[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO.

  

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$ f(x) = \frac{ln x}{ln(x) -1} = \frac{1}{ln(x) -1} + 1 $

  • Dominio.
      • $ln x \;  ⇒ \;  x \gt 0 $
      • $ln x  - 1 \ne 0 \; ⇒  \; ln(x) \ne 1 \; ⇒  \; x \ne e $

Dominio = (0, e) U (e,+∞)

  • Comportamento alla frontiera.
      • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ Il punto di discontinuità è eliminabile, basta estendere f(x) con f(0) = 1
      • $ \displaystyle\lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty $
      • $ \displaystyle\lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty $ Asintoto verticale di equazione x = e
      • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1;$   Asintoto orizzontale destro di equazione y = 1
  • Asintoti
      • Asintoto verticale di equazione x = e
      • Asintoto orizzontale destro di equazione y = 1
  • Massimi/minimi assoluti. Dal limiti appare che
      • Inf f(x) = -∞  ⇒ non esiste un minimo globale
      • Sup f(x) = +∞  ⇒ non esiste un massimo globale
  • Massimi/minimi relativi.
      • Derivata prima. $f'(x) = \frac{-1}{x(ln x -1)^2}$
      • Punti stazionari. $f'(x) = 0$ Nessun punto stazionario
      • Nessun massimo, minimo relativo
  • Concavità, convessità flessi.
      • Derivata seconda. $f^{(2)}(x) =  \frac {ln x +1}{x^2(ln x -1)^3}$
      • Segno derivata seconda.
          • $f^{(2)}(x) > 0; \forall x \in (0,\frac{1}{e}) \cup (e, +\infty);$   qui la funzione è convessa
          • $f^{(2)}(x) > 0; \forall x \in (\frac{1}{e}, e) $      qui la funzione è concava
          • $f^{(2)}(x) = 0; \; \text {per}\, x = \frac{1}{e} $che risulta essere un punto di flesso, infatti separa un intervallo dove la funzione è convessa da un intervallo dove la funzione è concava.

Nota. Nel punto di flesso la funzione vale $f(e⁻¹) = \frac{1}{2}$

 

desmos graph 1

 



Risposta
SOS Matematica

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