[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO.

$f(x) = ln |\frac{x-1}{x-5}|$

• Dominio.

$|\frac{x-1}{x-5}| \gt 0 \; ⇒ x \ne 1 \; \lor x \ne 5$ 

Dominio = ℝ\{1, 5}

f(x) è continua e derivabile in tutto il suo dominio.

• Comportamento alla frontiera
  • • $\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} f(x) = 0;$ E' presente un asintoto orizzontale di equazione y = 0
    • $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = -\infty;$ E' un asintoto verticale di equazione x = 1 
    • $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = +\infty;$ E' un asintoto verticale di equazione x = 5 
• Asintoti. dai limiti precedenti si dimostra che la funzione ammette
  • • due asintoti verticali di equazione x = 1; x = 5
    • un asintoto orizzontale di equazione y = 0

La presenza di un asintoto bilaterale orizzontale esclude la presenza di asintoti obliqui.

• Massimi, minimi globali. dai risultati dei limiti segue che
  • • Inf f(x) = -∞; nessun minimo globale
    • Sup f(x) = +∞;  nessun massimo globale
• Massimi, minimi locali.
  • • Derivata prima. $f'(x) = \frac{-4}{(x-5)(x-1)}$
    • Punti stazionari. $f'(x) = 0;$ Nessun punto stazionario appartenenti al dominio.
    • Nessun minimo/massimo locale.  
• Concavità, convessità, flessi
  • • Derivata seconda $ f^{(2)}(x) = \frac{8(x-3)}{(x-5)^2(x-1)^2} $
    • Segno derivata seconda.

Il denominatore è positivo ∀x∈Dominio. Possiamo così affermare che:

1. $ f^{(2)}(x) \lt 0, \forall x \in (-\infty, 3)$ In tale intervallo la funzione è concava.
2. $ f^{(2)}(x) \gt 0, \forall x \in (3, +\infty)$ In tale intervallo la funzione è convessa.
3. $ f^{(2)}(x) = 0, for x = 3. Siamo in presenza di un flesso visto il cambio di concavità.