Studio del segno della funzione, Studio della derivata prima – Crescenza/Decrescenza e punti in cui si annulla, Studio della derivata seconda – Concavità/Convessità.
Studio del segno della funzione, Studio della derivata prima – Crescenza/Decrescenza e punti in cui si annulla, Studio della derivata seconda – Concavità/Convessità.
La presenza del modulo al denominatore della funzione razionale fratta suggerisce che tale funzione sia equivalente ad una funzione definita a tratti.
Quindi liberiamo il modulo mettendo così in evidenza le componenti di tale funzione (definita a tratti) e risolvendo i punti proposti nei tratti di relativa competenza.
ABS(x - 2) = x - 2
se x ≥ 2
ABS(x - 2) = 2 - x
se x < 2
Detto ciò vediamo le componenti della funzione in esame:
Se x ≥ 2----> y = (x^2 - 1)/((x - 2) + 3·x)---> y = (x^2 - 1)/(2·(2·x - 1))
che costituisce parte del ramo di destra di un'iperbole non equilatera.
Se x < 2---> y = (x^2 - 1)/((2 - x) + 3·x)----> y = (x - 1)/2
che costituisce una funzione lineare sino al punto di raccordo con l'altra componente.
Tale funzione risulta essere continua sui due tratti.
Il particolare nel punto di raccordo x=2 si ha:
f(2) = (2^2 - 1)/(2·(2·2 - 1))-----> y = 1/2
come pure:
LIM((x - 1)/2) = 1/2
x-----> 2-
Continuo più tardi....
Riprendo
Le intersezioni con gli assi sono di competenza del tratto lineare ( al riguardo vedi la figura in allegato).
Segno funzione
y<0 se x<1
y>0 se x>1
In particolare il tratto che prosegue con l'iperbole a partire dal punto di raccordo è crescente (tale iperbole avrebbe asintoto verticale x=1/2 che però non le compete)
La derivata prima è con riferimento alle due componenti:
y'= 1/2 pari al coefficiente angolare della prima componente (che è una retta)per x<2
y'=(x^2 - x + 1)/(2·x - 1)^2 che indica sempre una crescenza della funzione in esame.
Per quanto riguarda la derivata seconda è nulla per la prima componente mentre per la seconda:
y''= 3/(1 - 2·x)^3 indica concavità verso il basso.
Presenta un asintoto obliquo per x--->+inf (ma questo non è richiesto!)
La funzione
* y = f(x) = (x^2 - 1)/(|x - 2| + 3*x)
è indefinita solo in x = - 1, è priva di asintoti, ha limiti
* lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
* lim_(x → - 1) f(x) = - 1
* lim_(x → + ∞) f(x) = + ∞
e zeri solo in x = + 1, visto che in x = - 1 non esiste.
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Per x <= 2: f(x) = u(x) = y = (x - 1)/2
Una retta a pendenza positiva è negativa a sinistra dello zero, positiva a destra; è ovunque crescente con derivata prima pari alla pendenza e, in assenza di curvatura della retta, ha derivata seconda nulla ed è priva di "Concavità/Convessità".
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Per x > 2: f(x) = v(x) = y = (1/4)*(x^2 - 1)/(x - 1/2)
Un'iperbole centrata in (1/2, 1/4) di asintoti x = 1/2 e y = x/4 + 1/8; per x > 2 è ovunque crescente e concava in basso.