$$
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-x-6}
$$
$$
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-x-6}
$$
y = (x - 1)/(x^2 - x - 6)
Facciamo lo studio sino alla derivata 1^ e conclusioni relative.
1° C.E.
x^2 - x - 6 ≠ 0 soluzioni: x ≠ 3 ∧ x ≠ -2
Quindi C.E. ]-inf; -2[U]-2;3[U]3;+inf[
2° intersezioni con gli assi
{y = (x - 1)/(x^2 - x - 6)
{y = 0
[x = 1 ∧ y = 0] con asse x
{y = (x - 1)/(x^2 - x - 6)
{x = 0
x = 0 ∧ y = 1/6
3° segno funzione
(x - 1)/(x^2 - x - 6) ≥ 0 se -2 < x ≤ 1 ∨ x > 3 analogamente:
(x - 1)/(x^2 - x - 6) < 0 se 1 < x < 3 ∨ x < -2
4° condizioni agli estremi del C.E.
LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6)=0
x--->-inf
LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =-∞
x--->-2-
LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =+∞
x--->-2+
LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =-∞
x--->3-
LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =+∞
x--->3+
LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6)=0
x--->+inf
Il 1° e l'ultimo limite indicano asintoto orizzontale y=0 gli altri due asintoti verticali x=-2 ed x=3
5° Derivata 1^
y'=- (x^2 - 2·x + 7)/(x^2 - x - 6)^2 non definita per i valori non definiti della funzione e sempre negativa
Quindi la funzione è sempre decrescente
Il grafico qualitativo necessita anche dello studio della derivata 2^. Questo lo lascio a te (comunque la concavità e la convessità sono definite dal grafico che ti rilascio. Ciao.