Studio di funzione

a.  

• Dominio = ℝ\{1}
  • La funzione è continua e derivabile laddove definita.
• Simmetrie
  • La funzione non è ne pari, ne dispari, ne periodica.
• Segno
  • f(x) > 0; per x > 1
  • f(x) = 0; Ø
  • f(x) < 0; per x < 1
• Limiti alla frontiera e asintoti
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x-1}} -1 = e^0 - 1 = 0  $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x-1}} -1 = e^0 - 1 = 0  $

Siamo in presenza di un asintoto orizzontale di equazione y = 0

• • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{1}{x-1}} -1 = [e^{\frac{1}{0^-}} -1 =  e^{-\infty} - 1] = -1 $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} e^{\frac{1}{x-1}} -1 = [e^{\frac{1}{0^+}} -1 =  e^{+\infty} - 1] = +\infty $

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 1, ovvero di una discontinuità di 2° specie.

La parte interna alle parentesi quadre è del tipo "si pensa, si dice ma, non si scrive" 

• Punti stazionari.
  • derivata prima. $ f'(x) = - \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2} $
  • punti stazionari. $ f'(x) = 0 $ Nessuno 
  • monotonia.
    • • f'(x) > 0 in nessun punto
      • f'(x) = 0 per nessun valore della x appartenente al dominio
      • f'(x) < 0 altrimenti. La funzione decresce nell'intervallo (-∞,1) e nell'intervallo (1,+∞)

N.B. La funzione NON è monotona decrescente (vedi grafico)

• Massimi/minimi assoluti e relativi.
  • massimo assoluto. Non esiste visto che dal limite per $x→1^+$ la funzione tende a + ∞; questo significa che Sup f(x) = +∞.
  • minimo assoluto. Vista la decrescenza il minimo poteva essere eguale a -1 (vedi limite per $x→1^+$) ma, in tale punto la funzione non è definita.
  • Massimi/minimi relativi. Abbiamo già detto che non esistono (vedi punti stazionari) 
• Concavità e flessi.
  • derivata seconda. f"(x) $ = \frac{e^{\frac{1}{x-1}} (2x-1)}{(x-1)^4}
  • segno derivata seconda. 
    • • f"(x) > 0 per x > 1/2 ⇒ La funzione è convessa in (1/2 , 1) e in (1,+∞)
      • f"(x) > 0 per x < 1/2 ⇒ La funzione è concava in (-∞, 1/2)
      • f"(x) = 0 per x = 1/2. In tal punto la funzione cambia di concavità. x = 1/2 è un punto di flesso. 
• Grafico

b. 

$ f'(0) =  - e^{-1} = - \frac{1}{e} $ 

La derivata prima è negativa. Sappiamo che la funzione è monotona decrescente nell'intervallo (-∞,1)

c.

Il regolamento del sito SoS non permette di postare/rispondere più richieste per ogni singola domanda. Il punto b. è parte dello studio di funzione, non così il punto c.