[Risolto] studio di funzione

$ f(x) = \frac{\sqrt(1-x)}{e^{x+1}} $

• Dominio.
  • • √(1-x)  ⇒ x ≤ 1

Dominio = (-∞, 1]. La funzione è continua e derivabile laddove definita.

• Comportamento in frontiera.
  • • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $
    • $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) =0 $    
• Intersezione con gli assi
  • • Asse x. Equazione y = 0 ⇒ x = 1
    • Asse y. Equazione x = 0 ⇒ y = 1/e
• Asintoti. Nessuno.
• Monotonia
  • • Derivata prima. $f'(x) = \frac{2x-3}{2\sqrt{1-x}\cdot e^{x+1}$
    • Punti stazionari. $ f'(x) = 0 \; ⇒ \; x = \frac{3}{2}; $ è fuori dominio
    • Segno derivata prima
      • f'(x) < 0 in tutto il dominio ⇒ la funzione f(x) è strettamente decrescente.
• Massimi, minimi.
  • • Massimo assoluto. Dal limite per x→-∞ segue che Sup f(x) = +∞. Non esiste il massimo assoluto
    • Minimo assoluto. minf(x) = f(1) = 0 segue dalla decrescenza
    • Massimi/minimi relativi. Nessuno, Non vi sono punti stazionari. nota: qualcuno considera x = 1come punto di minimo relativo. 
• Immagine. Imm f(x) = [0, +∞). segue dal teorema dei valori intermedi(ITV) visto che:
  • • • • f(x) è continua
        • f(x) è definita in un intervallo chiuso
        • dai limiti alla frontiera. 
• Grafico.