[Risolto] Studio di funzione

$f(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)-1}$

• Dominio = ℝ \ {π/2 + 2kπ; con k∈ℤ} 

La funzione f(x) è definita in tutto ℝ, salvo i punti che annullano in denominatore.

La funzione f(x) è continua e derivabile in tutto il suo dominio.

La funzione f(x) è periodica di periodo 2π. Studiamone il comportamento nell'intervallo [0,2π)

• Limiti e asintoti.
  • $\displaystyle \lim_{x \to \frac{pi^-}{2}} f(x) = - \infty$ 
  • $\displaystyle \lim_{x \to \frac{pi^+}{2}} f(x) = + \infty$

Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione $x = \frac{pi}{2}$. Più in generale gli asintoti verticali hanno equazione $ x = \frac{pi}{2} + 2kπ; con ∈ℤ$

Essendo la funzione periodica non vi sono ne asintoti orizzontali ne asintoti obliqui.

• Zeri. f(x) = 0

La funzione si annulla per $x = \frac{3\pi}{2} + 2kπ; con ∈ℤ $, ovvero laddove si annulla il coseno e la funzione risulta definita.

• Derivata prima

$f'(x) = - \frac {(sin(x) -1)sin(x) +cos^2(x)}{(sin(x)-1)^2} = \frac {1}{(sin(x) -1)}$

• Punti stazionari. La derivata è diversa da zero per ogni valore del dominio, quindi 
  • nessun massimo locale
  • nessun minimo locale
  • nessun flesso orizzontale

• Intervalli di monotonia.

La derivata prima è negativa per ogni valore di x appartenente al dominio di f(x) quindi

• La funzione f(x) in [0, 2π) è strettamente decrescente in [0, π/2)
• La funzione f(x) in [0, 2π) è strettamente decrescente in (π/2, 2π)

Oss. La funzione in [0, 2π) non è monotona, essendo periodica.

• Grafico. a tuo carico.