[Risolto] studio di funzione

"come si calcola il dominio e il segno??"
Il dominio e il codominio non si calcolano, ma si dichiarano.
Se
* f(x) = y = 1/(x + sin(x))
è funzione della variabile reale x allora f(x) ha per dominio l'asse reale x e, dal momento che seno addizione e inverso sono operazioni da reale a reale, ha per codominio l'asse reale y.
Si calcolano invece l'insieme di definizione che, come detto, coincide con l'insieme di definizione reale ed è l'asse x privato degli zeri del denominatore; e l'insieme immagine che è l'asse y privato dello zero dal momento che l'equazione y = 0 è impossibile.
Gli zeri del denominatore sono le radici dell'equazione
* x + sin(x) = 0 ≡ x = - sin(x)
che si risolve per ispezione, non analiticamente.
Le radici sono le ascisse delle intersezioni fra le due curve
A) y = x, la bisettrice dei quadranti dispari ovunque crescente e di segno concorde ad x
B) y = - sin(x), la sinusoide ribaltata rispetto all'asse x con valori in [- 1, 1]
quindi le intersezioni, dovendo avere ordinate in [- 1, 1] non possono che avere ascisse in [- 1, 1] poiché all'esterno la A ha valori con modulo maggiore di uno.
La B è decrescente per x ∈ [- π/2, π/2] e, a maggior ragione, per x ∈ [- 1, 1] ⊂ [- π/2, π/2] dove la A è crescente: pertanto un'intersezione deve esistere e dev'essere unica: quella nell'origine, che si rileva a colpo d'occhio.
Il segno della originale
* f(x) = y = 1/(x + sin(x))
è quello di x in quanto nel primo periodo attorno allo zero (- π, π) i due addendi sono concordi e, all'esterno di esso, |x| > |π| e quindi il contributo di sin(x) non influisce sul segno della somma.
Per avere un'idea di quanto le ondulazioni di sin(x) turbino l'approssimazione all'iperbole y = 1/x vedi il grafico al link http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3D1%2F%28x%2Bsin%28x%29%29

Non é immediato. L'equazione  x + sin x = 0

é una vera trascendente. Sicuramente ammette la soluzione x = 0

probabilmente non ve ne sono altre.

Si tratta di una funzione dispari, sicuramente positiva per x >= 1 e negativa per x <= -1

In [0,1] l'espressione a denominatore é strettamente crescente e quindi é positiva

e negativa in [-1,0] per simmetria rispetto all'origine.

grafico

https://www.desmos.com/calculator/s6zrmbnqfz