studio di funzione

Question

Seguendo lo schema indicato, tracciare il grafico della seguente funzione:
$$
f(x)=\frac{x}{e^x} \text {. }
$$
a) Determinare il dominio di definizione e calcolare il segno della funzione.
b) Calcolare i limiti della funzione agli estremi del dominio di definizione e gli eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui).
c) Calcolare la derivata prima e tramite il suo segno, determinare la crescenza o decrescenza della funzione, gli eventuali punti di massimo e minimo locale.
d) Calcolare la derivata seconda e tramite il suo segno, determinare la convessità o concavità della funzione e gli eventuali punti di flesso.
2. Calcolare l'integrale indefinito $\int \frac{x}{e^x} d x$.
3. Determinare l'area della regione sotto il grafico di $f$ compresa tra i punti di ascissa $x=1$ e $x=2$.

qualcuno porebbe risolverlo?

Autore

Risposta

ciaooooooo123

(@ciaooooooo123)

5 punti

livello:

Livello 0

3 Risposte
2 0 1

30/03/2024 19:41

anna.supermath · Accepted Answer

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LucianoP · Answer

y = x/e^x C.E. ]-∞, +∞[ cioè R Segno funzione Essendo il denominatore sempre positivo, il segno è regolato dal numeratore x: y>0 se x>0 y<0 se y <0 y=0 se x=0 (passa per l'origine) Condizioni agli estremi del C.E. LIM(x/e^x) =-∞ x--> -∞ LIM(x/e^x) = 0 x--->+∞ Asintoto orizzontale y=0 quindi asse delle x Derivata prima e segno y' = dy/dx =e^(-x) - x·e^(-x) e^(-x) - x·e^(-x) > 0 se x < 1 : f(x) cresce e^(-x) - x·e^(-x) < 0 se x > 1: f(x) decresce e^(-x) - x·e^(-x) = 0 se x = 1: f(x) è stazionaria Per x=1 abbiamo un punto di massimi relativo ed anche assoluto (la funzione è continua su tutto R) y max = e^(-1) Derivata seconda e segno y''=e^(-x)·(x - 1) - e^(-x) e^(-x)·(x - 1) - e^(-x) > 0 se x > 2 concavità verso l'alto e^(-x)·(x - 1) - e^(-x) <0 se x < 2 concavità verso il basso per x=2 si ha un punto di flesso yF = 2·e^(-2) [attach]76246[/attach] ∫(x/e^x)dx = - x·e^(-x) + ∫(e^(-x))dx =- x·e^(-x) - e^(-x) + C (costante di integrazione C) - e^(-x)·(x + 1) - e^(-2)·(2 + 1)=- 3·e^(-2) - e^(-1)·(1 + 1)= - 2·e^(-1) -----------------------------------(sottraggo) 2/e - 3/e^2= 0.3297530326 [attach]76247[/attach]

[Risolto] studio di funzione

Domande