[Risolto] Studio di funzione

Il dominio di una funzione non si determina, SI DICHIARA: è il prodotto cartesiano degl'insiemi su cui hanno valore le variabili indipendenti.
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La funzione
* f(x) = y = √(ln^2(x) - 1)/x
ha, ammesso che x sia reale,
* dominio D: l'intero asse reale x;
* codominio cD: l'intero piano di Argand-Gauss;
* insieme di definizione d: x != 0;
* insieme immagine i(d): il codominio;
* insieme di definizione reale dr: ln^2(x) >= 1 ≡ (0 < x <= 1/e) oppure (x >= e);
* insieme immagine di quest'ultimo i(dr): la semiretta y >= 0.
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La consegna dell'esercizio è di "studiare e disegnare" il grafico, che è solo per x ∈ dr.
Da "dr" si vede l'asintoto verticale: x = 0.
Da y = √(ln^2(x) - 1)/x = 0, i due zeri per (x = 1/e) oppure (x = e).
Dalle due prime derivate
* f'(x) = - (ln^2(x) - ln(x) - 1)/((x^2)*√(ln^2(x) - 1))
* f''(x) = (2*ln^4(x) - 3*ln^3(x) - 4*ln^2(x) + 3*ln(x) + 1)/((x^3)*√((ln^2(x) - 1)^3))
i punti critici
* f'(x) = - (ln^2(x) - ln(x) - 1)/((x^2)*√(ln^2(x) - 1)) = 0 ≡
≡ x = e^((1 ± √5)/2)
cioè
* P(e^((1 - √5)/2, valore immaginario)
* Q(e^((1 + √5)/2), √((1 + √5)/2)*e^(- (1 + √5)/2)) ~= (5.04, 0.25)
che, ovviamente, non può che essere un massimo relativo.
Il disegno è al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%E2%88%9A%28ln%5E2%28x%29-1%29%2Fx%5Dx%3D-1to5%2Cy%3D-1to1

Per il C.E.:

{x > 0

{LN(x)^2 - 1 ≥ 0

Risolvendo: [0 < x ≤ e^(-1), x ≥ e]

Verificato con WOLFRAMALPHA: