[Risolto] studio di funzione

Per il segno studiamo separatamente numeratore e denominatore:

Numeratore

$ 3^{x^2} - cosx > 0$

$ 3^{x^2} > cos x$

Si tratta di una disequazione che non si può risolvere analiticamente. Notiamo però che sono entrambe funzioni pari, dunque simmetriche rispetto all'asse y.

Concentriamoci dunque sul caso $x>0$, tanto analogo comportamento lo avremo per $x<0$ grazie alla simmetria.

L'esponenziale per $x=0$ assume valore $y=3^{x^2}=3^0=1$, poi continua a crescere.

Anche il coseno per $x=0$ assume valore $y=cos0=1$, ma poi decresce e continua ad oscillare.

Quindi l'unica intersezione è nel punto (0,1), per il resto l'esponenziale è sempre al di sopra del coseno e dunque il numeratore è sempre $\leq 0$.

Per chiarezza, questo è il grafico che mostra l'esponenziale e il coseno:

Denominatore

Ci basta risolvere la logaritmica:

$ log(1+3x^2) > 0$

$ 1+3x^2 > 1$

$ 3x^2 > 0$ -> $\forall x \neq 0$

SEGNO

Concludendo: sia il numeratore che il denominatore sono sempre positivi (escluso il punto $x=0$ in cui abbiamo una discontinuità di qualche tipo), dunque la funzione è sempre positiva 

Asintoti

Per gli asintoti il discorso è piuttosto immediato. Nota prima di tutto che la funzione è pari:

$ f(x)=\frac{3^{x^2}-cosx}{log(1+3x^2)} = f(-x) = \frac{3^{(-x)^2}- cos(-x)}{log(1+3(-x)^2}$

quindi ci basta studiare il caso $x \rightarrow +\infty$ e per simmetria il risultato sarà lo stesso a $-\infty$.

Quindi per $x\rightarrow +\infty$ l'esponenziale tende ad infinito, il coseno oscilla tra valori finiti [-1,1] e il logaritmo tende anch'esso a $+\infty$. 

Banalmente, l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo, dunque:

$ lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{3^{x^2}-cosx}{log(1+3x^2)} = +\infty$

cioè non presenta asintoti orizzontali.

Ovviamente non presenta nemmeno asinoti obliqui dato che l'esponenziale sarà sempre di ordine superiore: 

$ lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{3^{x^2}-cosx}{x log(1+3x^2)} = +\infty$

Quindi niente asintoti.

Noemi