Cara @PaMax, se io comprendo le tue esigenze tu le mie le comprendi?
A te serve qualche dritta su come studiare una funzione definita (male!) per distinzione di casi con una tale quantità di onerose (sia in calcolo che in scrittura) richieste, alcune anche mal poste, da tramutare l'esercizio in un tema d'esame (almeno per il numero di ore necessarie a dattilografare tutte le risposte).
A me serve sapere che cosa non sai come svolgere, o non comprendi, o che insomma ti lascia dubbiosa: e su quello svolgimento/spiegazione sono disposto a passare mezz'ora: non cinque ore, se no m'annoio.
VENIAMOCI INCONTRO!
Io ti scrivo qualcosa su ciò che mi sembra più importante da segnalarti e poi tu scrivi un aggiornamento ponendo una domanda ben articolata (il comando "Studiare la seguente funzione ..." l'esaminatore può impartirlo a te, ma tu non puoi girarlo pari pari a noi!) sul punto, o sul paio di punti che più ti perplimono.
E' stato assai inopportuno chiedere l'intero svolgimento di un tema d'esame.
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DEFINIZIONE PER DISTINZIONE DI CASI
* per x <= 0, f(x) è indefinita
* per 0 < x <= 1, f(x) = y = 4 - ln(x)
* per x > 1, f(x) = y = (4 - ln(x))/x
Nella sintassi di WolframAlpha
* y = pieceWise[{{4 - ln(x), 0 < x <= 1}, {(4 - ln(x))/x, x > 1}}]
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3DpieceWise%5B%7B%7B4-ln%28x%29%2C0%3Cx%3C%3D1%7D%2C%7B%284-ln%28x%29%29%2Fx%2Cx%3E1%7D%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=lim+pieceWise%5B%7B%7B4-ln%28x%29%2C0%3Cx%3C%3D1%7D%2C%7B%284-ln%28x%29%29%2Fx%2Cx%3E1%7D%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3DpieceWise%5B%7B%7B4-ln%28x%29%2C0%3Cx%3C%3D1%7D%2C%7B%284-ln%28x%29%29%2Fx%2Cx%3E1%7D%7D%5D
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Punto A
a1) IL CAMPO DI ESISTENZA NON ESISTE
f(x) è definita per x > 0 e tale semiretta non costituisce un campo perché non è un insieme chiuso rispetto alle operazioni razionali (p.es. 5 > 0, 7 > 0, ma 5 - 7 < 0).
a2) studio del segno (c'è un solo zero in x = e^4)
* per x <= 0, f(x) è indefinita
* per 0 < x < e^4 ~= 54.6, f(x) > 0
* per x = e^4, f(x) = 0
* per x > e^4, f(x) < 0
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@PaMax
AGGIUNTA
T'avevo detto "... poi tu scrivi un aggiornamento ponendo una domanda ben articolata ... sul punto, o sul paio di punti che più ti perplimono." e tu ti limiti a dire "ho grossi problemi in questo quesito" alla faccia della buona articolazione!
Avresti dovuto individuarne almeno due e dire perché per te costituiscono problema.
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Il grafico della funzione f(x)
* per x <= 0 è indefinito
* per 0 < x <= 1 decresce da più infinito a quattro
* per 1 < x <= e^4 decresce da quattro a zero
* per e^4 < x <= e^5 decresce da zero a - 1/e^5
* per x > e^5 cresce tendendo asintoticamente a zero
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Per tracciare l'andamento dell'inverso devi aver presente poche cose.
* l'inverso mantiene il segno dei valori non nulli.
* all'ascissa di uno zero l'inverso ha un asintoto verticale con flesso all'infinito.
* due valori non nulli inversi fra loro cadono in semipiani opposti rispetto a y = 1.
Con queste tre regolette puoi dire che il grafico della funzione g(x) = 1/f(x)
* per x <= 0 è indefinito
* per 0 < x <= 1 cresce da zero a 1/4
* per 1 < x <= e^4 cresce da 1/4 a più infinito
* per e^4 < x <= e^5 cresce da meno infinito a - e^5
* per x > e^5 decresce tendendo asintoticamente a meno infinito