Problemi, studio derivate.

$f(x)=\frac{1}{x^2+ax+b}$

a.  La funzione è definita in tutto ℝ se e solo se il denominatore non si annulla, ovvero se il discriminante risulta negativo.

$\Delta <0$

$a^2-4b<0$

La funzione f(x) è del tipo razionale fratta quindi risulta continua laddove definita.

Condizione necessaria e sufficiente per essere continua in tutto ℝ è che

$a^2-4b<0$

b.  Se la funzione f(x) ammette un asintoto verticale di equazione x = 1 significa che ha la forma  del tipo 

$f(x)=\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{1}{(x-1)(x-\beta )}=\frac{1}{x^2-(\beta +1)x+\beta }$   con β numero reale.

Per confronto si ha

1. a = -(β+1)
2. b = β

Utilizziamo l'informazione x = 2 è un estremante.

Deriviamo rispetto a x la funzione espressa in β

$f^{\prime }(x)=\frac{\beta -2x+1}{(x-1{)}^2(x-\beta {)}^2}$

Estremante per x = 2 significa che la derivata prima sarà nulla

$f^{\prime }(2)=0$

$\beta -2x+1=0$      per x = 2

$\beta =3\Rightarrow b=3\wedge a=-4$

La funzione è quindi

$f(x)=\frac{1}{x^2-4x+3}$

c.   

Intersezione con l'asse delle y (equazione x = 0)

$y=\frac{1}{3}$

Usiamo l'equazione della retta tangente

$y=f(0)+f^{\prime }(0)(x-0)$

ricaviamo la derivata prima nel punto x = 0 ricordando che, nel nostro caso,  β = 3.

$y^{\prime }(x)=\frac{4-2x}{(x-1{)}^2(x-3{)}^2}\Rightarrow y^{\prime }(0)=\frac{2}{9}$

La retta tangente ha equazione

$y=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}x$ 

d.

dalla $y^{\prime }(x)=\frac{4-2x}{(x-1{)}^2(x-3{)}^2}$ ricaviamo lo studio del segno

_____1_______2_______3_____

++++++++++0-------------------    (4-2x)

+++X+++++++++++++++++     /(x-1)²

++++++++++++++++X++++    /(x-3)²

+++X++++++0----------X-------    y'(x)  

....X............=..........X.......    y(x)

La funzione è strettamente decrescente in (2, 3) e in (3, +∞)

e. 

Non nell'intervallo [0, 4]  c'è un asintoto verticale quindi la funzione non è continua in [0, 4]

OK, nell'intervallo $[\frac{3}{2},\frac{5}{2}]$. Infatti

1. E' definita e continua in $[\frac{3}{2},\frac{5}{2}]$
2. E' derivabile in $(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$  
3. Inoltre $f(3/2)=f(5/2))-\frac{4}{3}$