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y = (x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)
Funzione razionale fratta
Non presenta particolarità: né pari, né dispari.
Determinazione del C.E.
Definita su tutto l'asse dei numeri reali ad eccezione dei valori che annullano il denominatore.
x^2 - 5·x - 6 ≠ 0-----> x ≠ 6 ∧ x ≠ -1-----> ]-inf;-1[U]-1;6[U]6;+inf[
Intersezione con gli assi
Con asse delle x:
{y = (x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)
{y = 0
Risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 0, x = 3 ∧ y = 0]
Con asse delle y:
{y = (x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)
{x = 0
Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = -1]
Segno della funzione
(x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6) > 0
Risolvo ed ottengo: 2 < x < 3 ∨ x < -1 ∨ x > 6
(x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6) < 0
Risolvo ed ottengo: 3 < x < 6 ∨ -1 < x < 2
Condizioni agli estremi del C.E.
LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = 1
x----> -∞
LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = +inf
x----> -1-
LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = - inf
x---->-1+
LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = -inf
x-----> 6-
LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = +inf
x---->6+
LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = 1
x---->+∞
Il primo e l'ultimo limite indicano la presenza di un asintoto orizzontale di equazione y=1
Il 2° ed il 3° asintoto verticale x=-1
Il 4° ed il 5° asintoto verticale x=6
Derivate
y'= 12·(5 - 2·x)/(x^2 - 5·x - 6)^2
y'' = 24·(3·x^2 - 15·x + 31)/(x^2 - 5·x - 6)^3
Studio derivata 1^
12·(5 - 2·x)/(x^2 - 5·x - 6)^2 ≥ 0-------> x ≤ 5/2
la funzione cresce per x < 5/2
12·(5 - 2·x)/(x^2 - 5·x - 6)^2 < 0---------> x > 5/2
la funzione decresce per x>5/2
Presenta un punto di max relativo per x=5/2
f(5/2) = ((5/2)^2 - 5·(5/2) + 6)/((5/2)^2 - 5·(5/2) - 6) = 1/49
Studio derivata 2^
24·(3·x^2 - 15·x + 31)/(x^2 - 5·x - 6)^3 > 0 (non si annulla il numeratore!)
x < -1 ∨ x > 6 : Presenta concavità verso l'alto
24·(3·x^2 - 15·x + 31)/(x^2 - 5·x - 6)^3 < 0
-1 < x < 6 : presenta concavità verso il basso