studio della funzione

La funzione razionale fratta : y = (1 + 3·x^4)/x^3

è dispari cioè manifesta simmetria rispetto all'origine del sistema di riferimento.

f(-x) = (1 + 3·(-x)^4)/(-x)^3 = - (3·x^4 + 1)/x^3 =-f(x)

C.E.: x^3 ≠ 0---->x ≠ 0

Condizioni agli estremi del C.E

LIM((1 + 3·x^4)/x^3 =-∞

x--->-∞

LIM((1 + 3·x^4)/x^3 = -∞

x-->0-

LIM((1 + 3·x^4)/x^3  = +∞

x---> 0+

LIM((1 + 3·x^4)/x^3 = +∞

x---> +∞

Quindi eventuale asintoto obliquo (che c'è invece!). La f(x) presenta asintoto verticale x = 0.

Non possiede intersezioni con gli assi ( non si annulla il numeratore e quindi non ha intersezione con l'asse delle x e nemmeno con l'asse delle y per quanto detto sopra)

Segno funzione:

(1 + 3·x^4)/x^3 > 0----> y>0 se x>0

(1 + 3·x^4)/x^3 < 0---> y<0 se x < 0

Derivata prima e seconda:

y' = 3·(x^4 - 1)/x^4

y'' = 12/x^5

Non definite per x=0

Crescenza e decrescenza

3·(x^4 - 1)/x^4 > 0------> x < -1 ∨ x > 1

in tali intervalli cresce

3·(x^4 - 1)/x^4 < 0---> -1 < x < 1  ed  x ≠ 0

quindi decresce all'interno e non è definita in x = 0

Concavità 

12/x^5 > 0 concava verso l'alto per x > 0. Per x <0 presenta concavità verso il basso.

Punti stazionari:

3·(x^4 - 1)/x^4 = 0----->   x = -1 ∨ x = 1 

Punto di max relativo : y = (1 + 3·(-1)^4)/(-1)^3 = -4  

[-1, -4]

Min rel in [1,4]

Asintoto obliquo:  y = 3 x

(y = (1 + 3·x^4)/x^3----> y = 3·x + 1/x^3)

\[f(x) = \frac{1 + 3x^4}{x^3}\,.\]

\[\mathcal{D} = \left\{\mathbb{R} - \left\{0\right\}\right\} \quad \text{in quanto}\]

\[x^3 \neq 0 \iff x \neq 0\,.\]

Intersezione assi $x$ e $y$:

\[\nexists f(0) \implies \, \text{non vi e' intersezione con l'asse $y$}\]

\[f(x) = 0 \implies \frac{3x^4}{x^3} = 0 \iff 3x^4 = 0 \iff x = 0 \notin \mathcal{D} \implies\]

non vi sono intersezioni con l'asse delle $x$

\[f(x) > 0 \iff x^3 > 0 \quad \text{in quanto} \quad 1 + 3x^4 > 0 \qquad \forall x \in \mathcal{D}\,.\]

Allora

\[f(x) > 0 \qquad \forall x > 0 \qquad f(x) < 0 \qquad \forall x < 0\,.\]

La funzione è dispari in quanto $f(-x) = -f(x)$, ovvero simmetrica rispetto all'origine degli assi nel riferimento euclideo-cartesiano.

\[\lim_{x \to 0^{\pm}} f(x) = \lim_{x\to 0^{\pm}} \frac{1 + 3x^4}{x^3} = \infty\,,\]

ergo $x = 0$ è punto di accumulazione per lo spazio insiemistico di definizione ed è un asintoto verticale (punto di discontinuità della seconda specie).

\[\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{1 + 3x^4}{x^3} = \pm \infty\,,\]

ergo non esiste alcun asintoto orizzontale.

\[\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{1 + 3x^4}{x^4} = 3 = m\]

\[\lim_{x \to \pm \infty} f(x) - mx = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{1 + 3x^4}{x^3} - 3x = 0 = q\,;\]

esiste dunque un asintoto obliquo di equazione $y = 3x\,$.

\[\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \frac{1 + 3x^4}{x^3} = - \frac{3}{x^4} + 3 \quad \text{tale che}\]

\[\exists \frac{d}{dx} f(x) \qquad \forall x \in \mathcal{D}\]

\[\frac{d}{dx} f(x) = 0 \iff x = \pm 1\,.\]

Per il Teorema di Fermat, esse sono le ascisse dei potenziali punti di massimo o minimo relativi, che esisteranno per il Teorema di Weierstrass (verificabili attraverso teoremi del calcolo differenziale, calcolando nell'intorno di tali punti il segno della derivata prima. Se hai dubbi su questo, scrivi pure, devi calcolare banalmente il segno della derivata e dedurre l'entità di tali punti stazionari e punti di non derivabilità).

\[\frac{d^2}{dx^2} f(x) = \frac{12}{x^5} \mid \, \exists \frac{d^2}{dx^2} f(x) \iff x \neq 0 \implies \, \exists \frac{d^2}{dx^2} f(x) \qquad \forall x \in \, \mathcal{D}\,.\]

\[\frac{d^2}{dx^2} f(x) \neq 0 \qquad \forall x \in \, \mathcal{D}\,,\]

ergo non risultano esistere punti di flesso.

Anche in questo caso, devi calcolare banalmente il segno della derivata seconda per determinare gli intervalli topologici di convessità o concavità.

$f(x) = \frac{1+3x^4}{x^3}$

• Dominio = (-∞, 0) U (0, +∞)
• La funzione f(x) è del tipo razionale quindi continua e derivabile 
• Simmetria. La funzione è dispari infatti f(-x) = f(x)
• Limiti e asintoti.
  • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ quindi 
    • $inf \, f(x) = -\infty \quad \text{f(x) cioè non ammette minimo assoluto}$
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$
  • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
    • Esiste un asintoto verticale di equazione x = 0

• • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ quindi
    • $sup \, f(x) = +\infty \quad \text{f(x) cioè non ammette massimo assoluto}$
  • Asintoti obliqui
    • $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x)}{x} = 3$
    • $q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)-3x = 0$
    • l'asintoto obliquo è y = 3x

Nel grafico con delle freccette indica la direzione dei limiti. Essendo f(x) continua, risulterà evidente ciò che afferma il teorema di Weirestrass generalizzato e cioè

• • per Weirestrass generalizzato esiste almeno un max locale in (-∞, 0)
  • per Weirestrass generalizzato esiste almeno un min locale in (0, +∞)

• Max/min locali
  • derivata prima $f'(x) =  3 - \frac {3}{x^4}$
  • punti stazionari $f'(x) = 0 \, \implies \, x_1 = -1, x_2 = +1$

per quanto affermato in precedenza (Weirestrass) necessariamente

• • $x_1$ è un punto di max locale dove f(x) = f(-1) = - 4
  • $x_2$ è un punto di min locale dove f(x) = f(1) = 4

Si può arrivare alla stessa conclusione, studiando gli intervalli di monotonia di f(x) [cioè il segno della sua derivata prima] o il segno della derivata seconda.

• Concavità/convessità/flessi
  • Derivata seconda. $ \text{f"(x) =} \frac{12}{x^5}$
    • La funzione è concava in (-∞, 0) coerente con il max locale
    • La funzione è convessa in (0, +∞) coerente con il min locale

Quale parte dello studio di questa funzione ti crea dubbi?