[Risolto] Studio della funzione

f(x) = x/(x²+4)

1. Dominio.

Si tratta di una funzione razionale fratta (rapporto di due polinomi). Tale tipo di funzioni sono definite, continue e derivabili in tutto ℝ salvo i punti che annullano il denominatore. Troverai nel libro di testo i relativi teoremi a riguardo. Nel nostro caso

/(x²+4) ⇒ x²+4≠0 e questo è vero per ogni x reale.

Dominio = ℝ

2. Simmetrie (pari/dispari).

Applichiamo la definizione di pari/dispari

f(-x) = -x/((-x)²+4)) = - x/(x²+4) = - f(x)

La funzione risulta dispari quindi simmetrica rispetto all'origine degli assi.

3. Segno e zeri.

Osserviamo che il denominatore è positivo quindi

• f(x) = 0 per x=0
• f(x) < 0 per x<0
• f(x) > 0 per x>0

Questo è coerente con il fatto di avere una funzione dispari.

4. Limiti e asintoti

lim(x→±∞) f(x) = 0

• La funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y=0

NB. Il dominio ci dice che non vi sono punti di discontinuità quindi nessun asintoto verticale.

5. Monotonia e massimi/minimi relativi

• derivata prima. f'(x) = (4-x²)/(x²+4)²
• punti stazionari. f'(x) = 0 ⇒ 4-x²=0 ⇒ x=±2
• Monotonia. Studiamo il segno derivata prima. Osserviamo che il denominatore è positivo quindi
  • f'(x) = 0 per x=-2 V x=+2
  • f'(x) < 0 in (-oo,-2) U (2,+oo). In questi due intervalli la funzione è decrescente
  • f'(x) > 0 in (-2,+2). In questo intervallo la funzione è crescente.
• Massimi/minimi relativi.
  • Massimo. La funzione cresce a sinistra del punto stazionario x=2 e decresce alla sua destra quindi ci troviamo di fronte ad un massimo relativo per x=2. determiniamo il valore del massimo. f(2) = 1/4. Il punto di massimo M ha coordinate M(2,1/4).
  • Minimo. La funzione decresce a sinistra del punto stazionario x=-2 e cresce alla sua destra quindi ci troviamo di fronte ad un minimo relativo per x=-2. determiniamo il valore del minimo. f(-2) = -1/4. Il punto di minimo N ha coordinate N(-2,-1/4).

NB. Massimo per x=2 e minimo per x=-2 risultati coerenti con la simmetria.

NB. I massimi/minimi trovati oltre a essere relativi sono anche assoluti

NB. La funzione è limitata infatti -1/4 ≤ f(x) ≤ 1/4 per ogni x reale.

6. Convessità e flessi.

• derivata seconda. f"(x) = 2x(x²-12)/(x²+4)³
• Verifica veloce sui massimi e minimi
  • f"(2) = -32/8³ < 0 quindi è un massimo
  • f"(-2) = 32/8³ > 0 quindi è un minimo
• Concavità e flessi tramite studio segno della derivata seconda

• f"(x) = 0 per x=0 V x=-2√3 V x=2√3

.......-2√3.........0........2√3.....

-------------------0+++++++++ 2x

+++++0------------------0++++ (x²-12)

++++++++++++++++++++  /(x²+4)³

 --------0+++++0--------0++++ f"(x)

per cui

• • f"(x) < 0 in (-oo,-2√3) U (0,2√3) la funzione risulta concava nei due intervalli
  • f"(x) > 0 in (-2√3,0) U (2√3,+oo) la funzione risulta convessa nei due intervalli
  • f"(x) = 0 per x=0 V x=-2√3 V x=2√3 sono tre punti di flesso visto che sono accompagnati da una cambiamento di concavità.

7. Grafico

https://www.desmos.com/calculator/fwem19vujj