[Risolto] STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

$ f(x) = x \cdot e^{\frac{3}{1+ln(x)}}$

1. Dominio

• $ln(x) \,\, \implies \,\, x > 0$
• $ 1 + ln(x) \ne 0 \,\, \implies \,\, x \ne \frac {1}{e}$

Dominio = $(0, \frac {1}{e}) \,\, \cup \,\, (\frac {1}{e}, +∞)$

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   2. Derivate

• $f'(x) = e^{\frac{3}{1+ln(x)}} \frac{ln^2(x)+2ln(x)-2}{(1+ln(x))^2}$
• $f^{(2)}(x) = - e^{\frac{3}{1+ln(x)}} \frac{3(ln^2(x)-4)}{x(1+ln(x)^4}$

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    3. Segno derivata seconda

Osserviamo che i termini $e^{...}, 3, (1+ln(x))^4, x$ sono positivi nel Dominio di f(x), quindi a condizionare il segno della derivata seconda è solo il termine $-(ln^2(x)-4)$ cioè $ 4 - ln^2(x)$, da cui

$ -(ln^2(x) - 4) < 0 \quad \iff \,\, ln(x) < -2 \,\, \lor ln(x) > 2 \quad  \iff \quad x < \frac {1}{e^{-2}} \,\, \lor x > \frac {1}{e^{2}}$

Passando al segno della derivata seconda 

• $ y^{(2)}(x) < 0  \,\, \iff \,\, x < \frac {1}{e^{-2}} \,\, \lor x > \frac {1}{e^{2}}$ in tali intervalli la funzione è concava.
• $ y^{(2)}(x) = 0  \,\, \iff \,\, x = \frac {1}{e^{-2}} \,\, \lor x > \frac {1}{e^{2}}$
• $ y^{(2)}(x) > 0  \,\, \iff \,\, \frac {1}{e^{-2}} < x < \frac {1}{e^{2}}$ in questo intervallo la funzione è convessa.

Conclusione. Due flessi nei punti:

• • • $x_1 = \frac {1}{e^{-2}}$
    • $x_2 = \frac {1}{e^{2}}$