STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

Sia

\[y = x^3(x - 1) \mid \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 3x^2 = 0 \iff x = 0 \lor x = \frac{3}{4}\]

\[\frac{d^2y}{dx^2} \:\Bigg|_{\substack{x = 0}} = 12x^2 - 6x \:\Bigg|_{\substack{x = 0}} = 0 \quad \text{flesso a tangente orizzontale}\]

\[\frac{d^2y}{dx^2} \:\Bigg|_{\substack{x = \frac{3}{4}}} = \frac{9}{4} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\,;\]

quindi è un punto di minimo relativo. La funzione è crescente per

\[\frac{dy}{dx} > 0 \iff 4x^3 - 3x^2 > 0  \quad \text{se}\; x > \frac{3}{4}\]

e decrescente per

\[\frac{dy}{dx} < 0 \iff 4x^3 - 3x^2 < 0 \quad \text{se}\; 0 < x < \frac{3}{4}\,.\]

y = x^4 - x^3

y' = 4x^3 - 3x^2

y'' = 12x^2 - 6x

punti stazionari

x^2 (4x - 3) = 0

x = 0 e x = 3/4

y''(0) = 0 => (0,0) é un punto di flesso a tangente orizzontale

y''(3/4) = 6(2*9/16 - 3/4) = 108/16 - 9/2 = 27/4 - 18/4 = 9/4 > 0

x = 3/4 é un punto di minimo relativo e

ymin = 81/256 - 27/64 = (81 - 108)/256 = -27/256