Determina gli intervalli dove le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti e gli eventuali punti di massimo, di minimo relativo e di flesso a tangente orizzontale di ciascuna funzione. (Nelle risposte sono indicati gli intervalli aperti dove la funzione è crescente e gli eventuali punti di estremo relativo o di flesso a tangente orizzontale.)
2163
punti
Livello 2
459
punti
Livello 1
Sia
\[y = \frac{x}{e^{3x}} \mid \frac{dy}{dx} \overset{\mathcal{Q}}{=} \frac{1 - 3x}{e^{3x}}\]
\[\frac{dy}{dx} = 0 \iff \frac{1 - 3x}{e^{3x}} = 0 \iff 1 - 3x = 0 \iff x = \frac{1}{3}\]
\[\frac{d^2y}{dx^2} \overset{\mathcal{Q}}{=} \frac{-6 + 9x}{e^{3x}}\:\Bigg|_{\substack{x = \frac{1}{3}}} = \frac{-3}{x} < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\,;\]
quindi è un punto di massimo relativo.
Per determinare se la funzione cresce o decresce in una determinata regione topologica:
\[\frac{dy}{dx} > 0 \quad \text{se}\; x < \frac{1}{3} \qquad \frac{dy}{dx} < 0 \quad \text{se}\; x > \frac{1}{3}\,.\]
3531
punti
Livello 5
