[Risolto] STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

$ y(x) = \frac {ax^2 + b}{x+c)^2}$

Useremo dapprima solo le principali caratterizzazioni dei punti dati allo scopo di determinare i valori delle costanti a, b, c. Solo in un secondo tempo verificheremo che si tratta proprio di un punto di minimo e di un flesso.

1. Per $x = -\frac {2}{3}$ si ha un punto stazionario.

• Derivata prima. $y'(x) = \frac{2(acx-b)}{(x+c)^3}$
• Punto stazionario. Significa che $y'(-\frac{2}{3}) = 0 $

$ 2(ac(-\frac{2}{3} - b) = 0$ 

$ b =  -\frac{2ac}{3}$

    2. Per $x = -\frac{1}{2}$ si ha un flesso.

• Derivata seconda. $y^{(2)}(x) = \frac {2ac(c-2x)+6b}{(x+c)^4}$
• Nel punto di flesso la derivata seconda è nulla. $y^{(2)}(-\frac{1}{2}) = 0$   

$ 2ac(c+1)+6(-\frac{2}{3})ac$

$2ac^2 + 2ac -4ac = 0$

$ac(c-1) = 0$

L'unica soluzione interessante è c = 1; le soluzioni a = 0 o c = 0 snaturano il problema.

    3. Asintoto orizzontale di equazione y = 3

Dopo aver sostituito i valori di b e c i due limiti devono avere come risultato 3, cioè

$\displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac {ax^2 - \frac{2}{3} a}{(x+1)^2} = 3$

Per confronto dell'ordine di infinito avremo che il limite del membro a sinistra vale a, quindi 

▪ c = 1

▪ a = 3

▪ b = -2

La funzione dovrebbe essere

$ y(x) = \frac {3x^2-2}{(x+1)^2}$

Consapevoli che $x = -\frac{2}{3}$ potrebbe essere anche un punto di flesso orizzontale e che $x = -\frac{1}{2}$ potrebbe anche essere un punto di massimo siamo costretti a verificarne l'esatta natura. 

Studiamone la derivata seconda. $ y^{(2)}(x) = - \frac{6(2x+1)}{(x+1)^4}$

1. Nel punto $x = -\frac{2}{3}$ la derivata seconda è positiva quindi trattasi di un minimo locale.
2. Analizziamo il segno della derivata seconda in un intorno del punto $x = -\frac{1}{2}$ 

_____-1_____-1/2_______0_____

..........++++++0-------------    Numeratore

.........X++++++++++++++   Denominatore

quindi la funzione da convessa (derivata seconda positiva) diventa concava, siamo in presenza di un flesso.

I valori attribuiti alle costanti risolvono il problema.