[Risolto] STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

$ y(x) = (\frac {x^2}{2} - x)ln(x) - \frac{3}{4} x^2 + x$

$ y'(x) = (x-1)ln(x) - x$

$ y^{(2)}(x) = ln(x) - \frac{1}{x}$

Studiamo la funzione derivata seconda $y^{(2)}(x)$

• Dominio = ℝ⁺
• $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} y^{(2)}(x) = -\infty$
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y^{(2)}(x) = +\infty$

La funzione $y^{(2)}(x)$ è una funzione continua. Applicando il teorema di Bolzano, possiamo affermare che esiste almeno un punto di zero.

• Monotonia 

$y^{(3)}(x) = \frac {x+1}{x^2}$ La derivata risulta positiva per ogni punto del Dominio, quindi la funzione $y^{(2)}(x)$ è strettamente crescente. Possiamo così concludere che esiste un solo punto, che chiamiamo x = α, dove la funzione si annulla.

$y^{(2)}(α) = 0$

.

Osserviamo che:

• • $y^{(2)}(1) = -1 < 0$
  • $y^{(2)}(2) = ln(2) - \frac{1}{2} > 0$

quindi $ α \in (1,2)$

Dimostriamo che α è anche un punto di flesso per la funzione y(x), studiando il segno della derivata seconda.

1. 1. $y^{(2)}(x) < 0 \,\,per\,\, x \in (0,α)$. Nell'intervallo (0,α), y(x) è concava.
   2. $y^{(2)}(x) = 0 \,\,per \,\, x = α$
   3. $y^{(2)}(x) > 0 \,\,per \,\,x \gt α$. Nell'intervallo (α,+∞), y(x) è convessa.    

C'è un cambio di concavità quindi α è un punto flesso per y(x).