Studio del segno

y = LN(x^2 - 2·x)

C.E.

x^2 - 2·x > 0---> x < 0 ∨ x > 2

LN(x^2 - 2·x) > 0---> x < 1 - √2 ∨ x > √2 + 1

LN(x^2 - 2·x) < 0---> 2 < x < √2 + 1 ∨ 1 - √2 < x < 0

LN(x^2 - 2·x) = 0---> x = 1 - √2 ∨ x = √2 + 1

$ f(x) = ln(x^2-2x)$

• Dominio = (-∞, 0) U (2, +∞)
• Segno f(x)
  • • f(x) = 0 ⇒ ln(x²-2x) = 0   ⇒   x²-2x = 1  ⇒   x = 1±√2
    • f(x) < 0 ⇒ ln(x²-2x) < 0   ⇒   x²-2x < 1  ⇒  1-√2 < x < 0     V     2 < x < 1+√2
    • f(x) > 0 ⇒ ln(x²-2x) > 0   ⇒   x²-2x > 1  ⇒    x < 1-√2         V      x > 1+√2

$f(x)=\ln(x^2-2x)$

La condizione di esistenza sull'argomento del logaritmo è $x<0 \lor x>2$.

Studiamo il segno della funzione ponendo $f(x) \geq 0$:

$\ln(x^2-2x) \geq 0$

Eleviamo $e$ sia a destra che a sinistra:

$x^2-2x \geq 1$

$x^2-2x-1 \geq 0$

$x \leq 1 - \sqrt{2} \lor x \geq 1+\sqrt{2}$

Chiaramente $f(x) <0 \implies 1-\sqrt{2} < x < 1+\sqrt{2}$.

Link al grafico:

https://www.desmos.com/calculator/jkzv7pdeqw