Studio completo di funzione.

$ y(x) = \frac{1-4x^2}{x^2-3} = \frac{(1-2x)(1+2x)}{x(x-3)} $

• Classificazione. Si tratta di una funzione razionale fratta. (rapporto di due polinomi)

• Dominio = ℝ \ {0, 3}

• Intersezione con gli assi
  • Asse delle x (eq. y=0). Due punti x = ± 1/2. P(-1/2, 0) e Q (1/2, 0)
  • Asse delle y (eq. x = 0). punto fuori dominio.

• Comportamento alla frontiera
  • $ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -4. $  Asintoto orizzontale di equazione y = -4
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$
    • • c'è un asintoto verticale di equazione x = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty$
    • • c'è un asintoto verticale di equazione x = 3

• Massimi/minimi assoluti
  • Gli ultimi due limiti ci assicurano che 
    • • sup f(x) = +∞ non esiste il massimo assoluto
      • inf f(x) = - ∞  non esiste il minimo assoluto

• Segno f(x)

___-1/2_____0______1/2_____3___

------0+++++++++++0-------------    (1-4x^2)

----------------X+++++++++++++     x

------------------------------------X++    (x-3)

-----0+++++X----------0++++X----     f(x)

• • • f(x) < 0 in (-∞, -1/2) U (0, 1/2) U (3, +∞)
    • f(x) = 0 per x = -1/2, x = 1/2
    • f(x) > 0 in (-1/2, 0) U (1/2, 3)

• Derivata prima. $ f'(x) = \frac{12x^2-2x+3}{x^2(x-3)^2} $ 
  • • • Segno f'(x)
        • f'(x) < 0, Ø 
        • f'(x) = 0, Ø, non ci sono punti stazionari. Ne min, ne max relativi.
        • f'(x) > 0, in tutto il suo dominio.

nota. f(x) è monotona crescente in tutto il suo dominio ma, NON è una funzione crescente. (vedi grafico)

• Derivata seconda. $ f^{(2)}(x) = -\frac{4x^3-x^2+3x-3}{x^3(x-3)^3}$
  • • • La derivata seconda si annulla per $ x₀ = \frac{1}{12} (1-\sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{35^2}$. Dal grafico possiamo dedurre che trattasi di un flesso, l'unico.
      • La funzione è convessa in (-∞, 0) U (0, x₀)
      • La funzione è concava in (x₀, 3) U (3, -∞)  

• Grafico