Buongiorno....sto facendo questo esercizio ma ho dubbi potete aiutarmi:
E dato il semigruppo $(S,∗)$, dove $S = R×R×R$ e, per ogni $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2) ∈ S$,
$(a_1, b_1, c_1) ∗ (a_2, b_2, c_2) = (a_1a_2, a_1b_2 + b_1c_2, c_1c_2)$
(i) ∗ è commutativa?
(ii)$ (S, ∗)$ ha elemento neutro? Nel caso lo abbia, dire quali elementi di S sono invertibili rispetto
a ∗, descrivendone esplicitamente gli inversi.
(iii) $(S, ∗)$ è un monoide? $(S, ∗)$ è un gruppo?
(iv) $T := {(a,b,0) | a,b ∈ R}$ è una parte chiusa in $ (S,∗)$? Nel caso lo sia, $(T,∗)$ è un semigruppo commutativo? E un monoide? E un gruppo?
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Ho già visto che:
1)non è commutativo;
2)ha neutro a destra e a sinistra che coincidono ed è $ (1,0,1)$;
3)ha elementi invertibili di tipo : $ (1/a_1, -b/(a_1c_2),1/c_1) $;
4)è un monoide ma non un gruppo perchè non tutti gli elementi sono simmetrizzabili;
Ma per la domanda (iv) ho alcuni dubbi, ho verificato che T è una parte chiusa di $ (S,∗)$ in questo modo:
$\T$ PARTE CHIUSA in $(S,∗) \iff (a_1, b_1, 0) ∗ (a_2, b_2, 0) \in T$
perchè:
$(a_1, b_1, 0) ∗ (a_2, b_2, 0) = (a_1a_2,a_1b_2,0) \subseteq T $
poi non è un semigruppo commutativo perchè * è associativa ma non commutativa. Ora verifico se è un monoide (qui ho problemi).Mi calcolo il neutro siccome so che (T,*) è associativa ed ho che non ha elementi neutri a destra ma ha elementi neutri a sinistra infatti:
$(a_2,b_2,0)$ ha neutro a sinistra in $(T,\star)$
se
$ (AA(a_2,b_2,0)\in S ((a_1,b_1,0)*(a_2,b_2,0)=(a_1,b_1,0))\iff ((a_2a_1,a_2b_1,0)= (a_1,b_1,0))\rightarrow (1,1,0)$
quindi non ho neutri a destra ma ho più neutri a sinistra( come faccio vedere che ci sono più elementi neutri a sinistra? C’è un metodo che potete consigliarmi o basta scrivere che ho più neutri a sinistra) allora è un monoide ma per verificare che si tratta di un gruppo devo calcolarmi il simmetrico di questo neutro anche se quello a destra non esiste quindi calcolo solo quello a sinistra..giusto?
Ringrazio in anticipo
