[Risolto] Stabilisci per quali valori di k l'equazione (2+K)x^2+(2-K)y^2=4-K^2 rappresenta: a. un 'ellisse o una circonferenza; b. un 'ellisse con i fuochi sull'asse x; c. un'ellisse con l'asse maggiore pari a 6.

L'equazione
* Γ(k) ≡ (2 + k)*x^2 + (2 - k)*y^2 = 4 - k^2
rappresenta un fascio di coniche con tutt'e tre i coefficienti parametrici che, due a due, si annullano per k = ± 2
* Γ(- 2) ≡ y^2 = 0
* Γ(+ 2) ≡ x^2 = 0
dando parabole doppiamente degeneri su un asse coordinato doppio.
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Per k != ± 2 è lecito dividere membro a membro per il secondo membro ottenendo la forma normale standard
* Γ(k) ≡ x^2/(2 - k) + y^2/(k + 2) = 1
da cui si hanno
* per (2 - k)*(k + 2) < 0 ≡ (k < - 2) oppure (k > 2), iperboli reali
* per (2 - k)*(k + 2) > 0 ≡ - 2 < k < 2, ellissi o circonferenze, reali o immaginarie.
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In particolare
* (2 - k < 0) & (k + 2 < 0) ≡ impossibile ≡ nessuna conica immaginaria
* (2 - k < 0) & (k + 2 > 0) ≡ k > 2 ≡ iperboli con fuochi sull'asse y
* (2 - k > 0) & (k + 2 < 0) ≡ k < - 2 ≡ iperboli con fuochi sull'asse x
* (2 - k > 0) & (k + 2 > 0) ≡ - 2 < k < 2 ≡ ellissi reali (circonferenza per k = 0)
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Per - 2 < k < 2 è lecito riscrivere la forma normale standard evidenziando i semiassi
* a = √(2 - k)
* b = √(k + 2)
* Γ(k) ≡ (x/√(2 - k))^2 + (y/√(k + 2))^2 = 1
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* a < b ≡ 0 < k < 2 ≡ ellissi con fuochi sull'asse y
* a = b ≡ k = 0 ≡ l'unica circonferenza del fascio
* a > b ≡ - 2 < k < 0 ≡ ellissi con fuochi sull'asse x
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Risposte ai quesiti
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a) - 2 < k < 2
b) - 2 < k < 0
c) (- 2 < k < 0) & (√(2 - k) = 3) oppure (0 < k < 2) & (√(k + 2) = 3) ≡
≡ (- 2 < k < 0) & (k = - 7) oppure (0 < k < 2) & (k = 7) ≡
≡ ∄ k ∈ R